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Elementare Beiträge zur neueren Funktionentheorie. (German) JFM 42.0416.01
Göttingen. 40 S. (1911).
Die Arbeit liefert im wesentlichen zwei Beiträge, die untereinander nicht zusammenhängen.
Der erste Teil ist dem elementaren Beweise eines Satzes von Wiman gewidmet, der sich auf einfache ganze transzendente Funktionen von der Ordnung \(\varrho \leqq \frac{1}{2}\) bezieht. Diese haben die Form \[ f(x)=\prod_{\nu=1}^\infty \left(1-\frac{x}{x_\nu}\right), \] und bei einem bestimmten \(\varrho\) \((0\leqq \varrho \leqq \frac{1}{2})\) ist die Summe \(\sum \begin{vmatrix} \frac{1}{x_\nu} \end{vmatrix}^{\varrho \pm \delta}\) für jedes positive \(\delta\) konvergent oder divergent, je nachdem das obere oder untere Vorzeichen genommen wird. Für die Abschätzung des Betrages einer solchen Funktion nach unten gilt der über die alte Hadamardsche (bei beliebigem \(\varrho\) richtige) Abschätzung erheblich hinausgehende Wimansche Satz: Ist \(\varrho<{\frac1 2}\) so gibt es bei jedem \(\varepsilon > 0\) eine ins Unendliche wachsende Folge positiver Zahlen \(r_1, r_2, \dots\), so daß \[ |f(x)|>c^{r_\lambda^{\varrho-\varepsilon}} \] ist für alle \(|x|=r_\lambda\). Dieser Satz wird mit elementaren Hülfsmitteln bewiesen. Desgleichen die im Falle \(\varrho=\frac{1}{2}\) eine Ergänzung darstellende Tatsache: Falls \(\lim_{\nu=\infty}\frac{\nu^2}{|x_\nu|}=0\), so können bei gegebenen \(n\) die \(r_\lambda\) so gewählt werden, daß \[ |f(x)|>r_\lambda^n \quad \text{ist für alle}\quad |x|=r_\lambda. \] Der zweite Teil der Arbeit liefert einen Beitrag zu dem “Landauschen Problem”, den verallgemeinerten Picardschen Satz in seiner Formulierung für ganze rationale Funktionen direkt zu beweisen. Diese Formulierung lautet: In \[ f (x) = a_0 + a_1x +\cdots + a_nx^n \quad \text{sei}\quad a_1\neq 0; \] dann gibt es eine nur von \(a_0\) und \(a_1\) abhängige Konstante \(r\), so daß im Kreise mit \(r\) um \(O\) mindestens eine Null- oder Einsstelle von \(f(x)\) liegt.
Dieser Satz wird für den Fall, daß die Nullstellen von \(f(x)\) in die spitzen Scheitelräume zweier nicht aufeinander senkrechten Geraden eingeschlossen werden können, elementar bewiesen.

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