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Über den Variabilitätsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen. (German) JFM 42.0429.01
Carathéodory hatte in einer früheren Abhandlung [Math. Ann. 64, 95–115 (1907; JFM 38.0448.01)] gezeigt, daß die Reihe \[ U=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=0}^\infty r^n(a_n \cos n \vartheta+b_n \sin n \vartheta) \] nur dann eine harmonische Funktion \(U(r, \vartheta)\) darstellen kann, die für \(r > 1\) regulär und positiv ist, wenn die Koeffizienten \(a_n\) und \(b_n\) gewissen angebbaren Beschränkungen unterworfen sind. Insbesondere mußte der Punkt des \(2n\)-dimensionalen Raumes mit den Koordinaten \[ a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n \] notwendig im Innern oder höchstens auf der Begrenzung des kleinsten konvexen Körpers \(K_{2n}\) dieses Raumes liegen, der die Kurve mit der Parameterdarstellung \[ x_1=\cos \vartheta, y_1=\sin \vartheta, x_2=\cos 2\vartheta, y_2=\sin 2\vartheta, \dots, x_n=\cos n \vartheta, y_n=\sin n \vartheta \] enthält, und es galt der umgekehrte Satz: Wenn die Zahlen \(a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n\) die Koordinaten eines Punktes bedeuten, der nicht außerhalb des Körpers \(K_{2n}\) liegt, so existiert mindestens eine harmonische Funktion, die im Einheitskreise regulär und positiv ist, und deren Entwicklung an eine Reihe der Form \(U\) mit den gegebenen \(2n\) Koeffizienten beginnt.
In der vorliegenden Arbeit wird eine andere Umkehrung desselben Satzes bewiesen, der für die Anwendungen von Bedeutung ist: Wenn die \(2n\) Koeffizienten \(a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n\) der Reihe \[ \frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^\infty r^n(a_n \cos n \vartheta+b_n \sin n \vartheta) \] die Koordinaten eines Punktes darstellen, der für jedes \(n\) im Innern des jeweiligen konvexen Körpers \(K_{2n}\) liegt, so stellt diese Reihe eine im Einheitskreise reguläre, positive harmonische Funktion dar.
Weitere Untersuchungen beziehen sich auf die Begrenzung des Körpers \(K_2n\), für die Toeplitz (vgl. das vorstehende Referat) eine rein algebraische Festlegung gefunden hatte. Der Übergang von der Parameterdarstellung der Begrenzung zur Toeplitzschen Darstellung führt auf ein Gleichungssystem, das in der Literatur schon mehrfach behandelt worden ist und bei der Kanonisierung von binären Formen ungerader Ordnung, der mechanischen Quadratur und der Theorie der Kettenbrüche auftritt. Diese Bemerkung erlaubt es, das Toeplitzsche Resultat abzuleiten, ohne von den quadratischen Formen mit unendlich vielen Veränderlichen Gebrauch zu machen.

MSC:
42A16 Fourier coefficients, Fourier series of functions with special properties, special Fourier series
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References:
[1] C. Carathéodory,Über den Variabilitàtsbereich der Koeffizienten von Potenzreiben, die gegebene erte nicht annehmen [Mathematiche Annalen, Bd. LXIV (1907), S. 95–115]. · JFM 38.0448.01
[2] O. Toeplitz: d)Über die Fourier’scheEntwickelung positiver Funktionen [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XXXII (2. Semester 1911), S. 191–192]; b)Zur Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Verànderlichen [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1910, S. 489–506]. · JFM 41.0381.02
[3] F. Faà di Bruno,Einleitung in die Theorie der binärenFormen (deutsch bearbeitet von Dr. Th. Walter) (Leipzig, Teubner, 1881), S. 94.
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[7] F. Riesz,Sur certains systèmes singuliers ďéquations intégrales [Annales Scientifiques de l’Ecole Normale supérieure (Paris), Ser, III, Bd. XXVIII (1911), S. 33–62].
[8] Die Theorie der konvexen Bereiche und Körper ist von H. Minkowski zu einer grossen Vollkommenheit gebracht worden. Das hier Folgende ist eine freie Bearbeitung einiger seiner Untersuchungen. Vgl.: H. Minkowski,Geometrie der Zahlen (Leipzig, Teubner, 1896),. Kap. I und. II; H. Minkowski,Volumen und Ohrflàche [Mathematisçhe Annalen, Bd. LYII (1903), S, 447–495]; H. Minkowski,Gesammelten Schriften (Leipzig, Teubner), Bd. II (1911), S. 131 u. f.
[9] Vgl. Faà di Bruno, loc. cit.3), Kap. III, S. 94.
[10] J. J. Sylvester,On a remarkable Discovery in the Theory of Canonical Forms and of Hyperdeterminants [Philosophical Magazine, Ser. IV, Bd. II (1851), S. 391–410].
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