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Über einige Verallgemeinerungen des Begriffs der Mannheimschen Kurve. (German) JFM 42.0596.01

Diss. Heidelberg 1911, 50 S. (1911).
Ist \(s\) die Bogenlänge, \(R\) der Krümmungshalbmesser und \(f(s,R)=0\) die natürliche Gleichung einer Kurve \(C\), so stellt bekanntlich \(f(x, y) = 0\), wo \(x\) und \(y\) als kartesische Koordinaten gedeutet werden, die Mannheimsche Kurve dar, d. h. den Ort des Krümmungsmittelpunktes für den jeweiligen Berührungspunkt, falls \(C\) auf einer Geraden rollt. Der Verf. verallgemeinert zunächst diesen Begriff der Mannheimschen Kurve in der Weise, daß er \(C\) nicht auf einer Geraden, sondern auf einer beliebigen Kurve \(C_1\) rollen läßt. Für den Fall, daß \(C_1\) ein Kreis ist, wurde die Frage schon von H. Wieleitner und P. Ernst (F. d. M. 38, 599, 1907) untersucht. Der Verf. diskutiert außer den bekannten Fällen noch die folgenden:
1. Die natürlichen Gleichungen von \(C\) und \(C_1\) haben die Form \(\varrho=\mu f(s)\) und \(R=f(s)\), wo \(\mu\) eine Konstante bedeutet.
2. \(C\) ist ein Kreis, \(C_1\) eine beliebige Kurve.
3. \(C\) ist eine natürliche Konchoide von \(C_1\).
Nach einigen Bemerkungen über die allgemeine Mannheimsche Kurve und nach Angabe der Tangenten und Normalenkonstruktion in einem ihrer Punkte betrachtet der Verf. den Fall 1. Zwei Kurven dieser Art nennt er Kurven proportionaler Krümmung; die Mannheimsche Kurve von \(C\) in bezug auf \(C_1\) heißt die Zwischenevolute von \(C_1\), weil sie dadurch entsteht, daß vom Kurvenpunkt aus auf der Normale zum Krümmungsmittelpunkt hin ein bestimmter Bruchteil \(\mu \varrho\) des Krümmungshalbmessers abgetragen wird. Die Bedeutung dieser Zwischenevoluten beruht vor allem darauf, daß sie, falls man die Normale zeichnen kann, häufig die einfachste Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes liefern. Als Grenzfall entsteht aus der Zwischenevolute durch eine Ähnlichkeitstransformation die Radiale von \(C_1\). Durch Anwendung der allgemeinen Erörterungen auf spezielle Kurven und Kurvengattungen, wie z. B. die logarithmische Spirale, die Zykloiden, die Kreisevolventen, gelangt der Verf. zu einer großen Zahl teils bekannter, teils neuer Sätze, die hier nicht angeführt werden können.
Eine weitere Verallgemeinerung der Mannheimschen Kurve besteht darin, daß man \(C\) auf \(C_1\) abrollen läßt und den Ort des zu dem jeweiligen Berührungspunkt gehörigen Krümmungsmittelpunkts \(n\)-ter Ordnung bestimmt. Da die Untersuchung des allgemeinen Falles sehr umständlich wäre, so betrachtet der Verf. spezielle Fälle, so z. B. die Fälle, daß \(C_1\) eine Gerade ist, und \(C\) und \(C_1\) durch einige spezielle transzendente Kurven ersetzt werden. Endlich werden noch Zusammenhänge zwischen Rollkurven und Fußpunktkurven abgeleitet und daraus Beziehungen zwischen der Mannheimschen Kurve und den Zwischenevoluten gewonnen. Dabei ergeben sich neue Beweise und Erweiterungen von Sätzen, die Steiner, Habich und Bonnet gefunden haben, nebst einigen allgemeinen Sätzen, von denen der folgende erwähnt sei: Jede Kurve kann mit Hülfe ihrer Zwischenevolute auf \(\infty^1\)-fache Weise als Rollkurve dargestellt werden.
Die Arbeit ist reich an Einzelresultaten und enthält manche Hinweise auf Wege, die noch zu weiteren Sätzen und Entdeckungen führen können.