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Gruppen zweiseitiger Kollineationen. (German) JFM 43.0750.04

“Zweiseitig” heißt eine eindeutige Transformation, wenn sie entweder die identische Transformation oder involutorisch ist. Eine Gruppe zweiseitiger Kollineationen enthält immer nur eine endliche Zahl von Kollineationen, und diese sind paarweise vertauschbar. Als Kern des Problems, alle Gruppen zweiseitiger Kollineationen eines Gebietes \(n\)-ter Stufe (eines Raumes von \(n - 1\) reellen oder komplexen Dimensionen) zu finden, erscheint die Aufgabe, alle Maximalgruppen der Art zu bestimmen. Ihre für \(n = 2, 3, 4\) bereits bekannte Lösung wird hier für einen unbestimmten Wert von \(n\) bewirkt, und zwar werden sowohl die Maximalgruppen reeller, wie auch die komplexer Kollineationen erschöpfend aufgezählt.
Die interessantesten unter diesen Gruppen, die durch eine ganze Reihe für sie charakteristischer Eigenschaften sich von den anderen abheben, umfassen \(2^{2p}\) Kollineationen eines Gebietes der Stufenzahl \(n = 2^p\). Dahin gehört die sogenannte Vierergruppe \((p = 1)\) und die Kollineationsgruppe der Kummerschen Konfiguration \((p = 2)\). Sie sind alle schon in der Theorie der Abelschen Funktionen aufgetreten (Wirtinger) und stehen in nahem Zusammenhang mit der Rechnung mit Thetacharakteristiken, wo sie halben Perioden entsprechen.
Aus ihrer Theorie lassen sich gewisse einfache Kollineationsgruppen ableiten, die, allerdings nur als abstrakte Gruppen, ebenfalls aus der Theorie der Kongruenzgruppen schon bekannt sind. Es folgt unter anderem, daß die Galoissche Gruppe des (affektlosen) Doppeltangentenproblems der ebenen Kurven vierter Ordnung, eine Gruppe von \(36 \cdot 8!\) Operationen, schon im Gebiete siebenter Stufe als Kollineationsgruppe existiert.
Verschiedenartige singuläre Eigenschaften haben die Fälle \(p = 1,\, 2,\, 3\). Der Fall \(p = 3\) gibt Anlaß zur Betrachtung einer gemischten Gruppe von \(6 \cdot \infty^{28}\) Transformationen, in der die Kollineationsgruppe (von \(2 \cdot \infty^{28}\) Transformationen) einer quadratischen Mannigfaltigkeit \(x^2_1 - x^2_2 + x^2_3 - x^2_4 + x^2_5 - x^2_6 + x^2_7 - x^2_8 = 0\) enthalten ist. Für die von F. Engel aufgefundene einfache Gruppe von \(\infty^{14}\) Kollineationen eines Gebietes achter Stufe wird eine neue und sehr einfache Erzeugungsweise angegeben. Ferner kann die genannte Gruppe von \(6 \cdot \infty^{28}\) Transformationen in der Kinematik des gewöhnlichen (euklidischen und nichteuklidischen) Raumes von drei Dimensionen gedeutet werden. (Vgl. Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 12, 36-60, 1913.)
In Lehrsatz 22 der zweiten Abhandlung ist von Geraden auf der genannten quadratischen Mannigfaltigkeit die Rede, die sich schneiden. Gemeint sind aber gerade Linien, die ebenen Büscheln von Geraden auf jener Mannigfaltigkeit angehören.

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Full Text: EuDML