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Begründung der kinetischen Gastheorie. (German) JFM 43.1055.03
Ausgangspunkt der Hilbertschen Begründung der Gastheorie ist die Maxwell-Boltzmannsche Stoßformel für die unbekannte Maxwellsche Verteilungsfunktion \(F (t; x, y, z; \xi, \eta, \zeta) \{t = \text{Zeit}\), \((x, y, z)\) Raumkoordinaten einer beliebigen Stelle im Gas, \((\xi, \eta, \zeta)\) Komponenten der dort herrschenden Geschwindigkeit\(\}\). Diese Stoßformel kann nicht anders als durch statistische Betrachtungen gewonnen werden; aber die weitere Deduktion vollzieht sich nun auf völlig strengem Wege, ohne daß auf Wahrscheinlichkeitsüberlegungen zurückgegriffen zu werden braucht. Der Ansatz für \(F\) als einer Potenzreihe in \(t\) wird verworfen, da eine solche Potenzreihe nur in einem endlichen Zeitintervall konvergieren wird, während es sich gerade darum handelt, die Stoßformel in der Weise zu lösen, daß \(F\) für alle Zeiten endlich und stetig bleibt (Forderung der Stabilität des Gases). Statt dessen benutzt Hilbert unter Einführung eines Parameters \(\lambda\) eine Poztenzreihe in \(\lambda\): \(\boldsymbol\varPhi + \boldsymbol\varPsi \lambda+\boldsymbol X\lambda^2+\cdots\); darin findet die Maxwellsche Idee, die Verteilungsfunktion durch sukzessive Approximation zu ermitteln, eine exakte Formulierung. In der Tat ergeben hernach die sukzessiven Abschnitte dieser Potenzreihe, wenn man sie an Stelle der Stoßfunktion nimmt, die Gasgesetze mit immer wachsender Genauigkeit und Vollständigkeit.
Führt man den Ansatz von \(F\) in die Stoßformel ein, so ergibt sich zunächst eine Gleichung für die positive Funktion \(\boldsymbol\varPhi\), die bereits von Boltzmann vollständig gelöst worden ist: man erhält für \(\boldsymbol\varPhi\) diejenige Funktion, welche die sogenannte Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung darstellt; es gehen darin fünf willkürliche Funktionen von Ort und Zeit ein, die man als Dichte, Temperatur und die drei Komponenten der beobachtbaren Geschwindigkeit aufzufassen hat. Setzt man ferner \(\boldsymbol\varPsi = \psi\boldsymbol\varPhi\), so entsteht für \(\psi\) – und dies ist der entscheidende Punkt in der Hilbertschen Theorie – eine inhomogene orthogonale lineare Integralgleichung mit symmetrischem Kern, in welchem nur die Geschwindigkeitskomponenten \(\xi\), \(\eta\) \(\zeta\) als Integrationsvariabeln auftreten. Es stellt sich heraus, daß die korrespondierende homogene Integralgleichung genau fünf linear unabhängige Lösungen besitzt, nämlich 1, \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) und das Quadrat der Geschwindigkeit. Infolgedessen muß, damit die inhomogene Integralgleichung eine Lösung besitzt, deren rechte Seite fünf Integralbedingungen erfüllen. Dies ergibt fünf partielle Differentialgleichungen erster Ordnung für Druck, Temperatur und beobachtbare Geschwindigkeit, welche nichts anderes sind als die hydrodynamischen Gleichungen samt der Kontinuitätsgleichung und der thermodynamischen Grundgleichung für ein ideales Gas in erster Annäherung. Man kann die Werte jener Unbekannten für den Anfangsmoment \(t = t_0\) willkürlich vorgeben, dann sind sie für alle Zeiten bestimmt. Unter der Voraussetzung, daß diese Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, enthält die Lösung der inhomogenen Integralgleichung in linearer Weise fünf Größen, die hinsichtlich der Integrationsvariablen konstant sind, d. h. fünf willkürliche Funktionen von Ort und Zeit. Das nächste Glied \(X\) der Entwicklung bestimmt sich nunmehr mittels derselben Integralgleichung, und wiederum erfordert die Lösbarkeit, daß die rechte Seite eben jene fünf Integrabilitätsbedingungen erfülle. Diese bedeuten jetzt: den zweiten Wärmesatz, den Boltzmannschen Ausdruck für die Entropie des Gases und die Bewegungsgleichungen mit Berücksichtigung der inneren Reibung und Wärmeleitung. Wiederum können die fünf Funktionen noch willkürlich für den Anfangsmoment als Funktionen des Ortes vorgegeben werden. In dieser Weise fährt man fort. Bei jedem einzelnen Schritt, kommen fünf willkürliche Funktionen des Ortes hinzu. Aber diese kombinieren sich schließlich so miteinander, daß die Lösung nur von fünf willkürlichen Funktionen des Ortes abhängig erscheint; d. h. der Zustand eines stabilen Gases ist für alle Zeit eindeutig bestimmt, wenn man für dasselbe zur Zeit \(t_0\) Dichte, Temperatur und beobachtbare Geschwindigkeit als Funktionen des Ortes kennt.
Diese Begründung der Gastheorie ist das erste wichtige Beispiel aus der Physik, in der eine Integralgleichung direkt ohne Vermittlung einer Differentialgleichung auftritt.

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References:
[1] H. A. Lorentz, Gesammelte Abhandlungen Bd. I S. 88); diese Schlußweise von H. A. Lorentz ist aber nicht stichhaltig, und auch seine weiteren Entwicklungen daselbst sind, selbst für den einfachsten Fall des einatomigen Gases, mathematisch unbegründet, nicht nur weil sie wesentlich die Tatsache der eindeutigen Bestimmtheit der Lösung benutzen, sondern vor allem auch weil die Existenz einer Lösung für die Lorentzsche Gleichung nicht erwiesen wird ? und ohne Heranziehung der Theorie der linearen Integralgleichungen auch nicht erwiesen werden kann.
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