×

Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern. (German) JFM 44.0243.03

Ein quadratischer Körper heiße einfach, wenn seine Klassenzahl eins ist. Der Verf. beweist, daß ein Körper stets einfach ist, wenn es möglich ist, zu zwei beliebigen ganzen Zahlen \(\alpha,\beta\), von denen keine durch die andere teilbar ist, zwei ganze Zahlen \(\xi,\eta\) desselben Körpers zu finden, so daß \[ 0<n(\alpha\xi-\beta\eta)<n(\beta). \] Daraus folgt z. B., daß ein Körper der negativen Diskriminante \(D=1-4m\) dann und nur dann einfach ist, wenn alle Zahlen \[ p^2-p+m(p=1,2,\dots,m-2) \] Primzahlen sind. Umgekehrt ist in einem einfachen Körper die Ungleichung: \[ 0<n(\alpha\xi-\beta\eta)<n(\beta) \] sets bei beliebigem \(\alpha,\beta\), von denen keine durch die andere teilbar ist, durch ganze Zahlen \(\xi,\eta\) lösbar. Damit ist für diese Körper ein Analogen zum euklidischen Algorithmus leicht gefunden.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Crelle EuDML