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Über Berechnung der numerischen Reihen. (Czech) JFM 44.0257.02
Der Verf. beschäftigt sich mit den unendlichen Reihen, bei welchen das Verhältnis zweier aufeinander folgenden Glieder eine rationale Funktion des Zeigers ist. Es wird ein Verfahren angegeben, wie man eine solche Reihe in einen zu numerischer Berechnung geeigneten Kettenbruch verwandeln kann, und dies wird an zahlreichen Beispielen erläutert. Z. B. ist die Reihe \[ 1+\frac{\alpha\cdot \beta}{\gamma\cdot \delta}+\frac{\alpha(\alpha+1)\cdot \beta(\beta+1)}{\gamma(\gamma+1)\cdot \delta(\delta+1)}+\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)\cdot\beta(\beta+1)(\beta+2)}{\gamma(\gamma+1)(\gamma+2)\cdot\delta(\delta+1)(\delta+2)}+\cdots \] dem Kettenbruche \[ \beta_0+\frac{d_1\mid}{\mid \beta_1}+\frac{d_2\mid}{\mid \beta_2}+\cdots \] gleich; dabei ist für \(\varrho>0\) \[ \begin{aligned} d_{\varrho+1}&=\frac{\varrho(\varrho-\alpha+\gamma)(\varrho-\alpha+\delta)(\varrho-\beta+\gamma)(\varrho-\beta+\delta)(\varrho-\alpha-\beta+\gamma+\delta)}{(2\varrho-1+\gamma+\delta-\alpha-\beta)(2\varrho+\gamma+\delta-\alpha-\beta)^2(2\varrho+1+\gamma+\delta-\alpha-\beta)},\\ 4\beta_\varrho&=\alpha+\beta+\gamma+\delta-2+\frac{(\gamma+\delta-\alpha-\beta)(\alpha-\beta+\gamma-\delta)(\alpha-\beta-\gamma+\delta)}{(2\varrho-1+\gamma+\delta-\alpha-\beta)(2\varrho+\gamma+\delta-\alpha-\beta)}\end{aligned} \] und \[ d_1=\frac{(-\alpha+\gamma)(-\alpha+\delta)(-\beta+\gamma)(-\beta+\delta)}{(\gamma+\delta-\alpha-\beta-1)(\gamma+\delta-\alpha-\beta)(\gamma+\delta-\alpha-\beta+1)}, \]
\[ \beta_0=\frac{\alpha\beta-\gamma\delta+(\gamma+\delta-1)(\gamma+\delta-\alpha-\beta)}{(\gamma+\delta-\alpha-\beta-1)(\gamma+\delta-\alpha-\beta)}. \]
Reviewer: Fe.
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