On the convergence of series of orthogonal functions. (English) JFM 44.0303.04

Hobson, E. W.

Lond. M. S. Proc. (2) 12, 297-308 (1913).

Ist \(f(x)\) und \((f(x))^2\) im Sinne Lebesgues in \(-\pi\cdots + \pi\) summierbar, so ist für die Folge der zugehörigen Fourier-Koeffizienten bekanntlich \[ \tfrac12\,a_0+\sum(a^2_n + b^2_n) \] konvergent, und der entsprechende Satz gilt für alle Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten: Bilden \(\varphi_1(x),\varphi_2(x),\dots\) ein normiertes Orthogonalsystem in \((a,b)\) und sind \(c_n=\int^b_a f(x) \varphi_n(x)dx\) die zugehörigen Entwicklungskoeffizienten, so ist \(\sum c^2_n\) konvergent; und umgekehrt (Fischer-Rieß) ist diese Konvergenz einer \(\sum c^2_n\) auch hinreichend dafür, daß eine \(f(x)\) existiert, welches die gegebenen \(c_n\) liefert. Und diese Sätze sind unabhängig davon, ob \(\sum c_n \varphi_n \varphi_n(x)\) selbst konvergiert oder nicht. Doch gibt es schon eine Anzahl hinreichender Bedingungen, die diese Konvergenz “fast überall” zur Folge haben, so wenn
1. \(\sum n^{1/2} c^2_n\) noch konvergiert (Weyl),
2. \(\varphi_n(x)\) gleichmäßig beschränkt ist und wenigstens \(\sum n^{\frac12}c^2_n\) konvergiert (Weyl).
In der vorliegenden Abhandlung zeigt Hobson, daß es genügt, wenn \(\sum n^k c^2_n\) für irgendein positives \(k\) konvergiert (also sicher, wenn für ein positives \(\lambda: n^{\frac12+\lambda} c_n \to 0\)), und dies ohne jede Einschränkung über die \(\varphi_n(x)\). Die Konvergenz von \(\sum c_n\varphi_n(x)\) ist dann sogar “fast” gleichmäßig in \((a,b)\).

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Berlin)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Kapitel 1. Allgemeines.