×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über eine bei den Dirichletschen Reihen auftretende Aufgabe aus der Theorie der Potenzreihen von unendlichvielen Veränderlichen. (German) JFM 44.0405.02
Eine Potenzreihe konvergiert bekanntlich in dem ganzen Kreise durch die dem Entwicklungszentrum nächste Singularität, und zwar überall darin absolut. Anders eine Dirichletsche Reihe: es ist seit langem bekannt, daß sich bei einer solchen der Halbebene absoluter Konvergenz nach links zu noch ein Parallelstreifen bedingter Konvergenz anschließen kann, dessen Breite bis zu 1 betragen kann. Die Frage nun, ob auch die “Halbebene der Beschränktheit” der dargestellten Funktion, ebenfalls abweichend vom Verhalten bei Potenzreihen, über die Halbebene der absoluten Konvergenz nach links hinausreichen kann, hatte Bohr (Gött. Nachr. 1913, 441-488) auf eine Aufgabe über Potenzreihen von unendlichvielen Veränderlichen zurückgeführt, und er hatte auf diesem Wege sofort schließen können, daß der Streifen, um den die Halbebene der Beschränktheit über die Halbebene der absoluten Konvergenz hinausragt, höchstens die Breite 1/2 haben kann. Daß er aber überhaupt vorhanden sein kann, und zwar eine Breite haben kann, die an 1/4 wenigstens beliebig nahe heranreicht, zeigt der Verf., indem er nicht eine allgemeine Potenzreihe, sondern speziell eine quadratische Form von unendlichvielen Veränderlichen konstruiert, die die Bohrschen Erfordernisse erfüllt. Diese quadratische Form wird konstruiert aus quadratischen Formen von \(n\) Veränderlichen, die bei einem ganz heterogenen Gegenstande, nämlich beim Hadamardschen Determinantensatze, eine Rolle spielen.
Mit denselben algebraischen Hülfsmitteln wird ein Beispiel einer quadratischen Form von unendlichvielen Veränderlichen konstruiert, die beschränkt und sogar vollstetig ist, ohne absolut beschränkt zu sein.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Link EuDML