×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les points singuliers du problème du calcul des variations dans le plan. (French) JFM 44.0443.02
In einer früheren Arbeit (F. d. M. 37, 396 (JFM 37.0396.*), 1906) hat der Verf., unter der Voraussetzung, daß die zwei von ihm mit \(Q(x,y)\) und \(\varPsi(x,y)\) bezeichneten Invarianten nicht verschwinden, nachgewiesen, daß auf zwei sich im Punkte \(P\) schneidenden Extremalen, die daselbst die Erdmannsche Eckenbedingung erfüllen, eine Vertauschung der starken und schwachen Extrema stattfindet. Unter Festhaltung der Voraussetzung \(\varPsi(x, y) \neq 0\) wird nun das Verhalten zweier im Punkte \(P\) der Erdmannschen Bedingung genügenden Extremalen in dem Falle studiert, daß in diesem Punkte \(\varOmega(x, y) = 0\) ist. Ist \(x = x(s)\), \(y = y(s)\) eine dieser Extremalen, so kann für ihre in der Umgebung von \(P\) liegenden Punkte durch Betrachtung der Funktion \(\varOmega(x(s),y(s))\) erkannt werden, ob sie stark oder schwach ist. Sei \(\theta_0\) die Richtung unserer Extremale im Punkte \(P\), \(\overline \theta_0\) die zusammen mit \(\theta_0\) die Erdmannsche Bedingung erfüllende Richtung. In allen \(P\) benachbarten Punkten gibt es dann zwei der Erdmannschen Bedingung genügende Richtungen \(\theta\) und \(\overline \theta\), die im Punkte \(P\) in \(\theta_0\) und \(\overline \theta_0\) übergehen. Ist noch die Richtung der Extremale \(x = x(s)\), \(y = y(s)\) im Punkte \(x, y\), so steht das Verhalten von \(\varOmega(x(s), y(s))\) in engstem Zusammenhange mit dem der \(E\)-Funktion \(E(x, y, \vartheta,\overline \theta)\) entlang unserer Extremale. Statt, wie es bisher geschehen, die Funktion \(\varOmega(x, y)\) entlang unserer Extremale zu betrachten, genügt es, sie entlang jener durch \(P\) hindurchgehenden Kurve zu betrachten, die in jedem ihrer Punkte die Richtung \(\theta\) hat. – Anwendungen dieser Resultate auf die Theorie der diskontinuierlichen Lösungen einerseits, auf die Theorie der kontinuierlichen Lösungen im Falle des außerordentlichen Verschwindens der \(E\)-Funktion andrerseits werden in Aussicht gestellt.
Reviewer: Hahn, Prof. (Bonn)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et minima des formules intégrales définies.Oeuvres, T. I, p. 333.
[2] Mathematische Annalen, T. 62, p. 449.
[3] O. Bolza,Vorlesungen über Variationsrechnung (Leipzig, Teubner, 1909). –J. Hadamard,Leçons sur le Calcul des Variations (Paris, Hermann, 1910).
[4] Intégrale, longueur, aire [Annali di Matematica (3), 7 (1902), p. 231–359]. – V. aussi;Ch. de la Vallée Poussin,Cours d’Analyse infinitésimale (2e ed.), T. I, p. 269.
[5] Darboux,Leçons sur la Théorie des Surfaces. Livre XI, Ch. V. –Bolza, l. c., p. 438.
[6] L. c., p. 90.
[7] Math. Ann., 62, p. 467. –Hadamard, l. c., p. 442.
[8] Trans. of the Amer. Mathem. Soc., V. IX (1908), p. 485.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.