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Lies Invariantentheorie der Berührungstransformationen und ihre Erweiterung. (German) JFM 45.0081.04

Deutsche Math.-Ver. Ergänzungsband 5, 14-79 (1914); Verhdl. Naturf.-Ges. Wien \(2_1\), 160-162 (1914).
Die Invariantentheorie der Berührungstransformationen ist in mehrfacher Beziehung bemerkenswert: wegen der wichtigen Integrationsvereinfachungen, die Lie auf sie gegründet hat, und weil sie das erste Seitenstück ist zu der seit Gauß fortschreitend entwickelten Invariantentheorie der quadratischen Differentialformen; wie diese ist sie die Invariantentheorie einer unendlichen Gruppe von Transformationen. Dazu kommt, daß Lie seine Theorie in derselben Zeit entwickelte, in der Kleins Erlanger Programm entstand. Obwohl er die Ideen dieses Programms groß enteils aus Gesprächen mit Klein kannte, hatte er seine Invariantentheorie unabhängig von disen Ideen entwickelt und unbewuß t an einem wichtigen Beispiele ausgeführt, was Klein als Programm für die Zukunft aufstelle.
Lie hat später (Band II der Theorie der Transformationsgruppen) die Invariantentheorie der Berührungstransformationen ausführlich begründet und systematisch entwickelt. Weil er aber dabei nur selbsterdachte Methoden benutzten wollte, hat er seiner Begründung nicht die wirklich mögliche Einfachheit gegeben. Wie S. Kantor in einigen Arbeiten der Wien. Ber. hervorhebt, macht Lie von der bilinearen Kovariante eines Pfaffschen Ausdrucks gar keinen Gebrauch, und doch gibt gerade die Benutzung dieser Kovariante, wenn man noch die zugehörige kovariante bilineare Form in Differentialquotienten damit in Verbindung setzt, der ganzen Theorie eine außerordentliche Einfachheit und Durchsichtigkeit. Das kommt in hervorragendem Maß e darin zum Ausdruck, daß die Normalform \(p_1dx_1+\dots +p_ndx_n\) erhalten kann, fast genau so einfach wird wie die Invariantentheorie der Berührungstransformationen selbst.
Es erscheint höchst wünschenswert, die Invariantentheorie der Berührungstransformationen noch einmal im Zusammenhange zu entwickeln und auch ihre Erweiterung auf Pfaffsche Ausdrücke der besprochenen Art darzustellen, was Lie zwar selbst beabsichtigt, aber nicht ausgeführt hat. Dies ist der hauptsächlichste Gegenstand des Vortrages. Auß erdem wird noch eine andere Erweiterung der Invariantentheorie der Berührungstransformationen besprochen, von der sich auch bei Lie schon Spuren finden und die dann ebenfalls S. Kantor in der Grundzügen entwickelt hat. Statt nämlich die Funktionengruppen, deren Theorie den Hauptinhalt jener Lieschen Invariantentheorie bildet, durch die ihnen angehörigen Funktionen zu definieren, kann man sie durch die vollständigen Systeme definieren, deren Lösungen sie sind, und kann die ganze Theorie auch unter dieser Voraussetzung aufbauen. Damit wird der Weg gebahnt zu einer allgemeinen Invariantentheorie vollstäniger Systeme gegenübe der Gruppe der Berührungstransformationen, ja soger zu einer Invariantentheorie beliebiger Systeme von linearen partiellen Differentialgleichungen und von Pfaffschen Gleichungen. Auch diese Fragen lassen sich auf einen beliebigen Pfaffschen Ausdruck von der vorhin erwähnten Beschaffenheit übertragen und eröffnen ein reiches Feld für neue, aber auch sehr schwierige Untersuchungen, ein Feld, das Lie selbst schon angebaut hat in seinen Arbeiten über die vollkommenen Methoden zur Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Darin hat er nämlich bereits eine Reihe von Sätzen über die Invariantentheorie gewisser vollständiger Systeme gegenüber der Gruppe aller Berührungstransformationen entwickelt.

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