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Some problems of diophantine approximation. I: The fractional part of \(n^k\theta\). II: The trigonometrical series associated with the elliptic \(\vartheta\)-functions. (English) JFM 45.0305.03

Acta Math. 37, 155-191 (1914); 37, 193-239 (1914).
I. Der Inhalt des ersten Teiles dieser Arbeit ist schon auf dem Internationalen Kongreß zu Cambridge auszugsweise mitgeteilt worden [Proc. 5th Int. Math. Congr. 1, 223–229 (1913; JFM 44.0237.01)]. Er umfaßt die Unterteile: Einleitung. 1. Theorem von Kronecker. 2. Die Verallgemeinerung des Kroneckerschen Theorems. 3. Die Ordnung der Annäherung. 4. Die allgemeine Folge \((f(n)\theta)\) und die besondere Folge \((a^n\theta)\). Ausdehnungen eines Theorems von F. Bernstein. Die Verteilung der Ziffern in einem Dezimalbruch.
Das Kroneckersche Theorem [L. Kronecker, Berl. Ber. 1884, 1179–1193 (1884; JFM 16.0083.02)]: Sind \(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_m\) linear unabhängige irrationale Zahlen, d. h. besteht keine Beziehung vom Schlage \(a_1\theta_1+a_2\theta_2+\cdots +a_m\theta_m+a_{m+1}=0\), wo die \(a_i\) ganze Zahlen und nicht alle gleich Null sind, und ist \(0\leq\alpha_p<1\), so kann eine Folge \(n_r\) ganzer Zahlen so gefunden werden, daß \((n_r\theta_1)\to \alpha_1, (n_r\theta_2)\to\alpha_2,\dots,(n_r\theta_m)\to\alpha_m\), wenn \(r\to\infty\). Ferner ist in dem besonderen Falle, bei dem alle \(\alpha_p\) Null sind, keine beschränkende Annahme bezüglich der \(\theta_p\) nötig, also auch nicht in ihrer Irrationalität.
Die Verallgemeinerung dieses Satzes lautet: Sind \(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_m\) linear unabhängige irrationale Zahlen und die \(\alpha_{ip}\) irgendwelche Zahlen, für die \(0\leq\alpha_{ip}<1\) ist, dann kann eine Folge \((n_r)\) derart gefunden werden, daß \[ (n_r^i\theta_1)\to\alpha_{i1},\;(n_r^i\theta_2)\to\alpha_{i2},\dots,(n_r^i\theta_m)\to\alpha_{im} \] für \(i=1,2,\dots,k\). Ferner ist es unnötig, die \(\theta_p\) irgendwie eingeschränkt anzunehmen, wenn alle \(\alpha_p\) Null sind. Das Kroneckersche Theorem bezieht sich also auf den Fall \(k=1\). Dieses verallgemeinerte Theorem ist das Hauptergebnis des ersten Teiles der Arbeit. Der erste Unterteil besteht in einer Erörterung und einem Beweise des Kroneckerschen Satzes. Der Induktionsbeweis des allgemeine Satzes schreitet von \(k\) auf \(k+1\) fort; der Vollständigkeit wegen schien es also wünschenswert, von dem Verfahren Rechenschaft zu geben, durch welches der Satz in dem Falle \(k=1\) erhalten wird. Außerdem besitzt der Satz in diesem Falle an sich ein hinreichendes Interesse und Ansehen, um jeden Versuch zu rechtfertigen, neues Licht auf ihn zu werfen. Die bei den verschiedenen Beweisen benutzten Ideen erweisen sich als fruchtbar bei den weiteren Entwicklungen der Theorie. Überdies glauben die Verff., ihr Beweis sei einfacher als die bisher veröffentlichten Beweise.
Der Unterteil 3 ist der Frage der Schnelligkeit gewidmet, mit der die Zahlen \((n_r^k\theta_p)\) sich ihren bezüglichen Grenzen nähern. Die Erörterung der Probleme diesses Abschnittes kommt nur tastend vorwärts, und die Ergebnisse sind recht unvollständig. “Die angegriffenen Probleme sind nicht mit dem endgültigen Abschlusse gelöst worden wie die, denen die zweite Abhandlung gewidmet ist. Tatsächlich beschäftigt sich aber die erste Abhandlung mit Fragen, die trotz ihres elementaren Aussehens in Wahrheit schwieriger sind als die der zweiten.
Der letzte Unterteil endlich enthält einige Ergebnisse der Forschung, die durch ein von F. Bernstein [Math. Ann. 71, 417–439 (1912; JFM 42.1007.01)] bewiesenes anmutendes Theorem angeregt ist. Die unterscheidende Eigenart dieser Ergebnisse besteht darin, daß sie eine einzige Irrationalzahl \(\theta\) betreffen und Zahlfolgen, die nicht von der Form \((n^k\theta)\) sind, daß sie ferner für fasst alle Werte von \(\theta\) gelten, d. h. für alle Werte, abgesehen von denen, die eine auszunehmende und nicht spezifizierte Menge vom Maße Null bilden.”
II. Über den zweiten Teil der Arbeit mit den Unterteilen: Einleitung, 1. \(O\)- und \(o\)-Theoreme, 2. \(\Omega\)-Theoreme, 3. Anwendung auf die Theorie der trigonometrischen Reihen berichten wir mit den Worten seiner Einleitung. “Die Reihen \[ 2\sum q^{(n-\frac12)^2},\;1+\sum q^{n^2},\;1+2\sum (-1)^nq^{n^2}\;(n=1,2,3,\dots,\infty), \] wo \(q=e^{\pi i\tau}\), sind konvergent, wenn der imaginäre Teil von \(\tau\) positiv ist, und stellen die elliptischen \(\vartheta\)- Funktionen \(\vartheta_2(o,\tau),\;\vartheta_3(o,\tau),\;\vartheta_4(o,\tau)\) dar. Ist \(\tau\) eine reelle Zahl \(x\), so werden die Reihen oszillierende trigonometrische Reihen, die unter Vernachlässigung des Faktors 2 und der ersten Glieder der zweiten und dritten Reihe in den Formen geschrieben werden können: \(\sum e^{(n-\frac12)^2\pi ix},\;\sum e^{n^2\pi ix},\;\sum (-1)^ne^{n^2\pi ix}\). Diese Reihen, die reellen trigonometrischen Reihen, gebildet aus ihren reellen oder imaginären Bestandteilen, und die aus ihnen durch die Einführung von Konvergenzfaktoren abgeleiteten Reihen besitzen viele merkwürdige und anmutende Eigenschaften. Der Wunsch, diese Eigenschaften ans Licht zu bringen, hat ursprünglich zu Untersuchungen angeregt, deren Ergebnisse in dieser Abhandlungsreihe enthalten sind; ihrer Erforschung ist die gegenwärtige Abhandlung gewidmet.
Wir werden schreiben: \[ s_n^2=\sum_{\nu\leqq n} e^{(\nu-\frac12)^2\pi ix},\;s_n^3=\sum_{\nu\leqq n} e^{\nu^2\pi ix},\;s_n^4=\sum_{\nu\leqq n}(-1)^{\nu}e^{\nu^2\pi ix}. \] Wenn nun \(s_n\) eine der Reihen \(s_n^2,s_n^3,s_n^4\) ist, so ist offenbar \(s_n=O(n)\). Unser Ziel ist, genauere Einsicht in \(s_n\) zu gewinnen, und wir werden mit wenigen Bemerkungen über den Fall beginnen, bei dem \(x\) rational ist. In diesem Falle ist \(s_n\) stets von einer der Formen \(O(1)\) oder \(An+O(1)\), wo \(A\) eine Konstante ist. Es ist nicht schwer, zwischen den verschiedenen Fällen zu entscheiden; es wird genügen, die einfachste der drei Summen zu betrachten, nämlich \(s_n^3\).
Wir nehmen an, daß \(x\) positiv ist, wie wir dies glatt tun können ohne einen Verlust an Allgemeinheit. Dann ist \(x\) von einer der Formen: \[ \frac{2\lambda+1}{2\mu},\;\frac{2\lambda}{4\mu+1},\;\frac{2\lambda+1}{2\mu+1},\;\frac{2\lambda}{4\mu+3}, \] je nachdem der Nenner von \(\xi\equiv\,\frac12x\) kongruent 0,1,2 oder 3 ist \(\text{mod.} 4\). Nun läßt sich leicht bestätigen, daß \(\sum_0^{s-1} e^{2\nu^2\pi ir/s}\) von den Formen ist: \((\pm 1\pm i)\sqrt{s},\;\pm\sqrt{s},\;0,\;\pm i\sqrt{s}\), je nachdem \(s\equiv 0,1,2,3 \pmod 4\), und hieraus folgt unmittelbar, daß \(s_n^3\) von den Formen ist \((\pm 1\pm i)An+O(1),\;\pm An+O(1),\;O(1),\;\pm iAn+O(1)\) in diesen vier Fällen. So oszilliert z. B. die Reihe \(\sum \cos(\nu^2\pi x)\) endlich, wenn \(x\) von der Form \((2\lambda+1)/(2\mu+1)\) oder \(2\lambda/(4\mu+3)\) ist, und divergiert, wenn \(x\) von der Form \((2\lambda+1)/2\mu\) oder \(2\lambda/(4\mu+1)\) ist.”
1. \(O\)- und \(o\)-Theoreme. Die weit schwierigeren und interessanteren Probleme entstehen, wenn \(x\) irrational ist. Das wichtigste und allgemeinste Resultat ist: \(s_n=o(n)\) für jedes irrationale \(x\).
2. \(\Omega\)-Theoreme. “Wir haben uns bislang mit der Bestimmung gewisser oberer Grenzen für die Größe von Summen des Schlages \(s_n\) beschäftigt. So haben wir bewiesen, daß \(s_n=o(n)\) für jedes irrationale \(x\) ist, und daß \(s_n=O(\sqrt{n})\) für eine wichtige Klasse solcher Irrationalzahlen ist, die z. B. die Klasse der quadratischen Irrationalzahlen umschließen. Wir haben aber nichts getan, um zu zeigen, daß diese Resultate die besten ihrer Art sind, die bestehen. Die folgenden Theoreme werden zeigen, daß dem so ist.”
3. Eine Anwendung auf die Theorie der trigonometrischen Reihen. “Das Problem eine trigonometrischen Reihe zu finden, deren Koeffizienten der Null zusteben und die, wenn sie konvergiert, es nur für eine Wertmenge des Argumentes vom Maße 0 tut, wurde zuerst von P. Fatou gestellt [Acta Math. 30, 335–400 (1906; JFM 37.0283.01)] und von N. Lusin gelöst [Palermo Rend. 32, 386–390 (1911; JFM 42.0277.02)]. Die Ergebnisse des früheren Teils dieser Abhandlung haben uns zu einer Lösung des Fatouschen Problems geführt, die uns beträchtliche Vorteile vor der Lusinschen zu haben scheinen. Wir können in der Tat das folgende Theorem beweisen, das eine Erweiterung eines vorangegangenen ist: Die Reihen \(\sum n^{-\alpha}\cos(n^2\pi x),\;\sum n^{-\alpha}\sin(n^2\pi x)\), wo \(0<\alpha\leqq\frac12\), sind nie konvergent oder durch eines der Cesàroschen Mittel summierbar, für irgendwelche irrationalen Werte von \(x\). Einfach als Lösungen des Fatouschen Problems betrachtet, haben diese Reihen gegen die von Lusin zwei Vorteile. Erstens sind sie Reihen von einer einfachen, natürlichen und eleganten Form. Zweitens ist das Konvergenzproblem vollständig gelöst; es gibt keine Ausnahmemenge von \(x\)-Werten, für welche ein Zweifel bleibt. Das Theorem ist ein Korollar zu dem Theorem: Ist \(q=re^{\pi ix}\), wo \(x\) irrational ist, so sind sowohl der reelle als auch der imaginäre Teil von \(f(q)=1+2\sum_1^{\infty}q^{n^2}\) von der Form \(\Omega\left\{\root 4\of{\frac{1}{1-r}}\right\}\), wenn \(r\to 1\).”

MSC:

11J71 Distribution modulo one
11L03 Trigonometric and exponential sums (general theory)
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References:

[1] Kronecker,Berliner Sitzungsberichte, 11 Dec. 1884;Werke, vol. 3, p. 49. A number of special cases of the theorem were known before. That in which all the {\(\alpha\)}’s are zero was given byDirichlet (Berliner Sitzungsberichte, 14 April 1842,Werke, vol. 1, p. 635). Who first stated explicitly the special theorems in whichm=I we have been unable to discover.Dirichlet (l. c.) refers to the simplest as “längst bekannt{”: it is of course an immediate consequence of the elementary theory of simple continued fractions. See alsoMinkowski, “Diophantische Approximation{”, pp. 2, 7.Kronecker’s general theorem has been rediscovered independently by several writers. Seee. g. Borel,Leçons sur les séries divergentes, p. 135;F. Riesz,Comptes Rendus, 29 Aug. 1904. Some of the ideas of which we make most use are very similar to those of the latter paper. It should be added thatDirichlet’s andKronecker’s theorems are presented by them merely as particular cases of more general theorems, which however represent extensions of the theory in a direction different from that with which we are concerned. A number of very beautiful applications ofKronecker’s theorem to the theory of theRiemann {\(\zeta\)}-function have been made byH. Bohr.}}
[2] Math. Annalen, vol. 71, p. 421.
[3] This proof was discovered independently byF. Riesz, but, so far as we know, has not been published.
[4] In its interior, in the strict sense.
[5] The existence of such a “greatest possible{” interval is easily established by the classical argument ofDedekind.}
[6] Taking the congruent interval in (0, 1). This interval may possibly consist of two separate portions (o, {\(\xi\)}1), and ({\(\xi\)}2).
[7] Within or upon the boundary.
[8] The reasoning by which this is established is essentially the same as that of 1.20.
[9] This is a known theorem. For a proof and references see the tract ”The Riemann Zeta-function and the Theory of Prime Numbers”, byH. Bohr andJ. E. Littlewood, shortly to be published in theCambridge Tracts in Mathematical Physics.
[10] Pringsheim,Münchener Sitzungsberichte, vol. 27, p. 101, andMath. Annalen, vol. 53, p. 289;London,Math. Annalen, vol. 53, p. 322.
[11] In what follows we shall omit the brackets in (n, {\(\theta\)},...; it is of course to be understood that integers are to be ignored.
[12] For shortness we shall write this {\(\Phi\)} (k, m, {\(\theta\)}, {\(\alpha\)}, {\(\lambda\)}).
[13] That is, the function which has, for each value of {\(\lambda\)}, the least possible value. For the existence of this function it is necessary that the signbove should not be replaced by &lt;.
[14] In proving a result of this negative character we may evidently confine ourselves to the special case in whichm=1.
[15] By a theorem ofBorel andBernstein. SeeBorel,Rendiconti di Palermo, vol. 27, p. 247, andMath. Ann., vol. 72, p. 578;Rernstein,Math. Ann., vol.71, p. 417.
[16] It is not difficult to replace {\(\lambda\)} (log{\(\lambda\)})1+{\(\epsilon\)} by {\(\lambda\)} log{\(\lambda\)} (loglog{\(\lambda\)})1+{\(\epsilon\)}, or by the corresponding but more complicated functions of the logarithmic scale.
[17] In the introductory remarks of I. 00 we stated our main problem subject to the restriction that {\(\lambda\)} n is an integer. No such restriction, however, is required in what follows.
[18] F. Bernstein,loc. cit. Math. Ann., vol.71, p. 417.
[19] It is of course to be understood that an interval, or a part of an interval, which falls outside (0, I), is to be replaced by the congruent interval inside.
[20] We suppose {\(\lambda\)} large enough to ensure that this extension does not cuse any overlapping. If any part of an extended interval should fall outside (0, I), as will happen if an interval contains 0 or I, we of course replace this part by the congruent part of (0, I).
[21] The end points of the intervals will berational numbers satisfying the condition. In what follows we may confine ourselves to irrational values of , since the rational values form in any case a set of measure zero.
[22] It follows from the elements of the theory of errors that the ’most probable error’ is of order $$\(\backslash\)sqrt n $$ .
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