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Über Irrationalität unendlicher Kettenbrüche mit einer Anwendung auf die Reihe \(\varSigma_{\nu=0}^{\infty} q^{\nu^2}x^{\nu}\). (German) JFM 45.0340.02

Als Antwort auf die Frage, wann ein unendlicher Kettenbruch \[ (1)\quad \left[ \frac{a_{\nu}}{b_{\nu}} \right]_1^{\infty} = \frac{a_1|}{| b_1}+\frac{a_2|}{| b_2}+ \frac{a_3|}{| b_3}+\dots, \] dessen Elemente ganze rationale Zahlen sind, einen irrationalen Wert hat, ist für Kettenbrüche mit lauter positiven Elementen (eine endliche Anzahl negativer zugelassen), auf die die vorliegende Untersuchung beschränkt wird, das allgemeinste Resultat in dem Sternschen Satz enthalten. Ist (2) \(b_{\nu}\geqq a_{\nu}\) von einem gewissen \(\nu\) an, so ist den Kettenbruch (1) irrational. In der gegenwärtigen Arbeit wird die Bedingung (2) durch eine allgemeinere ersetzt (§1): um einen einfachen Spezialfall vor Augen zu haben, z. B. durch die folgende: \(b_{3\nu-2}b_{3\nu-1}b_{3\nu}\geqq a_{3\nu-2}a_{3\nu- 1}a_{3\nu}\) von einem gewissen \(\nu\) an. In §2 wird mit Hülfe dieses Resultates dies Irrationalität der Jacobischen Thetareihe \({\varSigma_0^{\infty}}_\nu q^{\nu^2}x^{\nu}\) für alle rationalen Werte von \(x\) und gewisse rationale Werte von \(q\) nachgewiesen und damit insbesondere eine Untersuchung von Eisenstein weitergeführt.

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References:

[1] Vgl. A. Pringsheim, Über die ersten Beweise der Irrationalität vone und ?. Sitzungsber. d. math.-phys. Kl. d. k. bayer. Akad. d. Wiss. XXVIII (1898), S. 325?337. ?Bezüglich der bisher bekannten Resultate und der Literaturnachweise vgl. O. Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig 1913, § 52. Im folgenden unter ?Perron, Lehrbuch? zitiert.
[2] G. Eisenstein, Transformations remarquables de quelques séries. Journ. f. Math. 27 (1844), S. 193?197; insbes. S. 193?194. · ERAM 027.0791cj
[3] M. A. Stern, Über die Irrationalität des Wertes gewisser Reihen. Journ. f. Math. 37 (1848), S. 95?96.? Über Irrationalität von Reihen. Ebenda 95 (1883), S. 197?200.
[4] J. W. L. Glaisher, On Arihmetical Irrationality. The London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, IV. Series, Vol. XLV (1873), p. 191?198. Die Glaisherschen Resultate sind in der älteren Sternschen Arbeit, die er offenbar nicht kannte, enthalten.
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