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Über die Beschränkungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden. (German) JFM 45.0642.01
Carathéodory hat untersucht, welchen Einschränkungen die Werte einer analytischen Funktion \(w = f (z)\) und ihrer ersten \(n-1\) Ableitungen im Punkte \(z = 0\) genügen, wenn dieselbe im Einheitskreis regulär ist und dort durchweg einen positiven Realteil hat. Diese Frage kann als ein Grenzfall der andern aufgefaßt werden, welchen Einschränkungen die Werte \(w_i\) solcher Funktionen an \(n\) vorgegebenen Stellen \(z_i\) des Einheitskreises unterliegen. Die Methode des Verf., die zu einer vollständigen Antwort auf diese allgemeinere Frage führt, ist der von Toeplitz und E. Fischer auf das Carathéodorysche Problem angewendeten analog. Bildet man die Determinante \(D_n\) aus den Elementen \(\frac {w_i + \bar w_k}{1- z_i \bar z_k},\) so bestehen die notwendigen und hinreichenden Bedingungen darin, daß die Determinanten \(D_1, D_2, \dots, D_n \geqq 0\) ausfallen. Ist \(D_1 > 0, D_2 > 0, \dots, D_{n_i} > 0,\) aber \(D_n = 0,\) so gibt es eine einzige. Funktion, und zwar ist sie rational vom \((n-1)\)-ten Grade, welche den gestellten Forderungen genügt. Allgemein aber erfüllen bei gegebenen \(w_1, \dots, w_{n-1}\) die möglichen Werte \(w_n\) eine gewisse Kreisfläche.

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References:
[1] C. Carathéodory, Rend. d. Palermo 32 (1911), S. 193-217. · JFM 42.0429.01
[2] s. die vorangehende Arbeit. · JFM 42.0429.01
[3] E. Fischer, Rend. d. Palermo 32 (1911), S. 240-256. · JFM 42.0277.03
[4] Vgl. etwa Jacobi, Werke 3, S. 479-511.
[5] Es sei auf die während des Druckes erschienene Note von W. Blaschke, ?Eine Erweiterung des Satzes von Vitali usw.?, Sächs. Berichte, Math.-phys. Klasse 1915 verwiesen,
[6] Vgl. Carathéodory, a. a. Carathéodory, Math. Ann. 72, insb. O. S. 205.
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