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Über einen Zusammenhang zwischen der Konvergenz von Polynomfolgen und der Verteilung ihrer Wurzeln. (German) JFM 45.0650.01
Im Mittelpunkt der Arbeit steht folgender Satz, aus dem dann die Verf. einige weitere zum gleichen Gedankenkreis gehörige Sätze ableiten:
Es sei eine Folge von Polynomen \[ \varPhi_n (x) = \prod_1^n \left( 1-\frac x{\alpha_{n\nu}} \right) = 1 + \sum_1^n a_{n\nu} x^\nu \quad (n =1, 2, 3 \dots ) \] gegeben und es gelte für alle \(n\) und für eine Zahl \(k > 0:\) \[ \sum_1^n \left| \frac 1{\alpha_{n\nu}}\right| ^k\leqq M. \] Ferner ergebe sich in einer gewissen Umgebung der Stelle \(x = 0\) gleichmäßig der Grenzwert \[ \lim_{n=\infty} \varPhi_n (x) =\varPhi (x). \] Dann gilt diese Limes-Gleichung in der ganzen Ebene und \(\varPhi (x)\) ist eine ganze Funktion vom Geschlechte \(\leqq [k].\) Ist \(k\) eine ganze Zahl, so ist \(\varPhi (x) e^{\gamma x^k}G (x),\) wo \(G (x)\) vom Geschlechte \(k -1\) ist.

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References:
[1] A. Signorini,Sulla dinamica delľelettrone svincolata da arbitrarie ipotesi cinematiche [II Nuovo Cimento, serie VI, vol. IV (2\(\deg\) semestre 1912), pp. 257–304, 331–375]. Nel seguito indicherb questa Memoria con (M). · JFM 43.1000.02 · doi:10.1007/BF02957489
[2] H. von Helmholtz,Ueber die physikalische Bedeutung des Princips der kleinsten Wirkung [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. C (1887), pp. 137-166]; o anche:H. VON Helmholtz,Wissenschaftliche Abhandlungen (Leipzig, J. A. Barth), Bd. III (1895), pp. 231–237.
[3] L. Koenigsberger,Ueber die Principieti der Mechanik [Sitzungsberichte der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Jahrgang 1896, pp. 899-944, 1173–1183].
[4] Vedi (M), pag. 21.
[5] Cfr. ad es.:M. Abraham,Theorie der Elektrizität (Leipzig, Teubner), Bd. II (1905), pag. 57.
[6] Vedi:T. Levi-Civita,Sulla espressione asintotica dei potenziali ritardati [Atti del IV\(\deg\) Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6-n aprile 1908), vol. III (1909), pp. 89–100].
[7] Vedi ad es.:M. Abraham, loc. cit. 5), pag. 38.
[8] É facile vedere che dal risultato ora ottenuto segue che ľhessiano della funzione lagrangiana del più generale movimento delľelettrone rispetto alle q (vedi Introduzione) risulta identicamente nullo per un elettrone sferico se si suppone il suo movimento quasi dilatatorio [Cfr. (M), § 22]. Per un elettrone inizialmente sferico non e dunque accettabile ľipotesi di semplificazione formale della funzione lagrangiana introdotta a scopo puramente euristico nelľultimo capitolo della mia Memoria (M).
[9] Vedi Introduzione.
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