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Recherches sur las fonctions inverses des fonctions méromorphes. (French) JFM 45.0656.05

Thèse présenté à la faculté des sciences de l’université de Helsingfors (1914).
Die Arbeit untersucht die Singularitäten der Umkehrungsfunktionen meromorpher Funktionen. Die Ergebnisse lassen sich wie folgt zusammenfassen: Außer algebraischen Singularitäten kommen nur algebraische Stellen der Bestimmtheit vor. Darunter ist folgendes zu verstehen. Betrachtet man eine Umgebung der singulären Stelle, so nimmt die Funktion in dieser Umgebung einen gewissen Wartevorrat an. Man ergänze diese Menge durch ihre Häufungspunkte und betrachte den Durchschnitt aller so zu beliebigen Umgebungen der Stelle konstruierten Mengen. Dieser ist hier stets ein einziger Punkt, nämlich der unendlichferne. Einer nach dem singulären Punkte hinstrebenden Kurve entspricht so in der Ebene der meromorphen Funktion ein nach Unendlich hinziehender Weg, auf dem die meromorphe Funktion der Koordinate jener singnlären Stelle zustrebt. Ist \(a\) ein Wert, den die meromorphe Funktion nur endlich oft annimmt, so gibt es nach Unendlich zielende Wege, auf welchen die Funktion gegen diesen Wert konvergiert und er tritt als Koordinate einer singulären Stelle der Umkehrungsfunktion auf. Eine Funktion, welche nur endlich viele mehrfache Pole hat, und deren Ableitung nur endlich viele Nullstellen besitzt, hat mindestens zwei solche Konvergenzwerte. Über die Verteilung der Singularitäten gibt der folgende Satz Auskunft: Sei \(K\) ein beliebiger Bereich und \(a\) und \(b\) zwei seiner Stellen. Ein beliebiges zur Stelle \(b\) gehöriges Element der Umkehrungsfunktion kann über einen passenden, dem Bereich \(K\) angehörigen Weg bis an \(a\) heran fortgesetzt werden. Die in einem Kreis mit Mittelpunkt \(a\) erklärte Umgebung der singulären Stelle \(a\) untersucht Iversen in den letzten Kapiteln seiner Arbeit näher und klassifiziert die möglichen Vorkommnisse. Für alle als möglich erkannten Umgebungstypen werden prägnante Beispiele durchgeführt. (Unter der Umgebung einer singulären Stelle verstehe ich hier wie in meinem Enzyklopädieartikel die Gesamtheit der Elemente, die man aus einer nach dem singulären Punkt hinführenden Kette von Funktionselementen durch Fortsetzung längs Wegen erhalten kann, die einer gegebenen Umgebung der Koordinate der singulären Stelle angehören. Bem. des Referenten.)