×

zbMATH — the first resource for mathematics

The rational sextic curve, and the Cayley symmetroid. (English) JFM 45.0903.01
Eine rationale Raumkurve \(R_6\) ist dargestellt durch \[ (1) \qquad \varrho x_i = f_i (t)\quad (i =1, 2, 3, 4) \] wo die \(f_i (t)\) ganze Funktionen sechster Ordnung eines Parameters \(t\) sind.
Der Schnitt mit einer Ebene \((u)\) führt zu der Gleichung: \[ (2)\qquad (ux)\equiv \varSigma u_if_i (t) \equiv \varphi (t)=0. \] Es ist vorteilhaft, diese einzige ganze Funktion \(\varphi:\) \[ (3)\qquad\varphi (t)\equiv m_0t^6+6m_1t^5 + \cdots + m_6 \] dem invariantentheoretischen Studium der \(R_6\) zugrunde zu legen.
Jede gleich Null gesetzte projektive binäre Invariante \(I\) von \(\varphi\) liefert eine zur \(R_6\) kontravariante Fläche. Im besonderen wähle man \(I\) als die Katalektikante von \(\varphi,\) eine in den Koeffizienten \(m_i\) vierreihige symmetrische Determinante. Dann stellt \(I= 0\) ein Cayleysches Symmetroid dar. Aus den zahlreichen Beziehungen zwischen dieser Fläche vierter Klasse und der \(R_6\) lassen sich interessante neue Eigenschaften der Kurve herleiten.

PDF BibTeX Cite
Full Text: DOI