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On integrals and derivates with respect to a function. (English) JFM 46.0386.01
In früheren Arbeiten (London M. S. Proc. (2) 9, 15, 1910; London R. S. Proc. (A) 88, 170, 1912; London M. S. Proc. (2) 13, 109, 1918; F. d. M. 41, 325 (JFM 41.0325.*), 1910, 44, 343, 1913) hat der Verf. eine Theorie der Integration entwickelt, die den Begriff der Halbstetigkeit in den Vordergrund rückt und die das Hilfsmittel der monotonen Funktionsfolgen systematisch benutzt. Hier wird die Fruchtbarkeit dieser Theorie dadurch gezeigt, daß eine Reihe von Sätzen, die Verallgemeinerungen von bekannten Sätzen von Dini, Scheffer, Lebesgue und de la Vallée Poussin sind, sehr einfach aus ihr abgeleitet werden.
Von diesen Sätzen genüge es hier zwei anzugeben:
1. Wenn \(f(x)\) irgendeine der Derivierten einer stetigen Funktion \(F(x)\) in bezug auf eine monoton wachsende Funktion \(g(x)\) ist, wenn ferner \(f(x)\) in bezug auf \(g(x)\) summierbar ist und wenn die Unendlichkeitspunkte von \(f(x)\) eine abzählbare Menge bilden, so gilt die Formel \[ F(x)-F(a)=\int_a^x f(x)dg(x). \] 2. Wenn \(F(x)\) nach unten rechts und nach oben links halbstetig ist, wenn ferner \(F(x)\) in bezug auf die monoton wachsende Funktion \(g(x)\) eine rechte Derivierte \(f(x)\) besitzt, die in bezug auf \(g(x)\) auf der Punktmenge \(f(x)<0\) summierbar ist, dann gilt
1. entweder \(f(x)=-\infty\) auf einer Punktmenge der Mächtigkeit des Kontinuums,
2. oder \(F(x)\) ist ein oberes Integral in bezug auf \(g(x)\) und \(F(x)-F(a)=I(x)+\) positive monoton wachsende Funktion von x.
\(I(x)\) bedeutet hierbei das Integral von \(f(x)\) in bezug auf \(g(x)\), erstreckt über die Punktmenge \(f<0\) des Intervalles \((a, x)\).

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