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Weierstrass’s non-differentiable function. (English) JFM 46.0401.03
Weierstraß hat bekanntlich bewiesen, daß die Funktion \[ f(x)=\sum a^n\cos(b^n\pi x), \] bei der \(0<a<1,\;b\) eine ungerade ganze Zahl und \(ab>1+\frac 32\pi\) ist, für kein \(x\) einen Differentialquotienten besitzt, weder einen endlichen noch einen unendlichen. Dieses Resultat ist in der mannigfachsten Weise ergänzt worden, so von Dini, Lerch, Bromwich u. a. Letzterer zeigte z. B., daß es genügt, wenn \(ab>1+\frac 32\pi(1-a)\) ist. Bei all diesen Untersuchungen werden keine prinzipiell neuen Methoden benutzt und ihr Ergebnis kann nicht als abschließend angesehen werden. Beides ist dagegen bei der hier vorliegenden Arbeit der Fall. Die Resultate sind die folgenden:
1. Keine der Funktionen \(\sum a^n\cos b^n\pi x\) und \(\sum a^n\sin b^n\pi x\), bei denen \(0<a<1\) und \(b>1\) ist, besitzt an irgendeiner Stelle einen endlichen Differentialquotienten, wenn \(ab\geqq 1\) ist.
2. Der Satz wird falsch, wenn das Wort “endlich” gestrichen wird. – Dabei braucht \(b\) keine ganze Zahl zu sein.
3. Wenn \(ab>1\) und also \(\alpha=\frac{\log(1/a)}{\log b}<1\) ist, so erfüllt jede der beiden Funktionen für jedes \(x\) die Bedingung \[ f(x+h)-f(x)=O(| h| ^\alpha); \] aber keine von ihnen erfüllt für irgendein \(x\) die Bedingung \[ f(x+h)-f(x)=O(| h| ^\alpha). \] Besonders dieser Satz dringt mit einer erstaunlichen Schärfe in den Bau der Weierstraßschen Funktion ein. – In den Schlußteilen der Arbeit wird ein Beispiel einer Fourier-Reihe gegeben, die an keiner Stelle eine “Lipschitz-Bedingung” von irgendeiner Ordnung erfüllt; weiter wird ein eng damit zusammenhängender Satz von S. Bernstein über die absolute Konvergenz gewisser Fourier-Reihen bewiesen und schließlich die Riemannsche Funktion \(\sum\frac{\sin n^2\pi x}{n^2}\) auf ihre Differenzierbarkeit untersucht und gezeigt, daß sie für kein irrationales \(x\) einen endlichen Differentialquotienten haben kann. Dieses Ergebnis liegt noch beträchtlich tiefer als die übrigen der genannten Sätze. (IV 3 D.)

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