×

Verschärfung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung für rationale Polynome. (German) JFM 46.0414.01

Ist \(f(x)\) eine für \(a\leqq x\leqq b\) stetige Funktion und daselbst \(| f(x)| \leqq 1\), so ist bekanntlich \[ \left| \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\right| \leqq 1. \] Ist \(f(x)\) ein trigonometrisches Polynom \(n\)-ter Ordnung und \(a=0,b=2\pi\), so gilt nach Fejér die schärfere Abschätzung \[ -1+\frac{2}{n+1}\leqq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)dx\leqq 1- \frac{2}{n+1}, \] und Fejér hat auch die Fälle der Gleichheit bestimmt. Die analoge Untersuchung führt der Verf. für Polynome \(n\)-ten Grades durch. Dies gelingt mit Hilfe gewisser mechanischer Quadraturen für rationale Polynome, die der Quadratur mit äquidistanten Abszissen bei den trigonometrischen Polynomen entsprechen. Es ergibt sich z. B. für Polynome \((2\nu-1)\)-ten Grades \[ -1+\frac{2}{\nu(\nu+1)}\leqq\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx\leqq 1- \frac{2}{\nu(\nu+1)}, \] falls \(| f(x)| \leqq 1\) ist. Es werden auch die Fälle der Gleichheit bestimmt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML