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Über Matrizen- und Differentialkomplexe. (German) JFM 46.0672.01

Unter einem Matrizenkomplex wird in den vorliegenden Aufsätzen ein System von quadratischen Matrizen gleichen Grades in beliebiger endlicher oder unendlicher Anzahl mit Koeffizienten aus einem Rationalitätsbereiche \(\Sigma\) verstanden; dieser kann auch Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen \(x\) enthalten. Zwei Matrizenkomplexe \(\mathfrak U\) und \(\mathfrak B\) derselben Grade heißen ähnlich, äquivalent oder von derselben Art, wenn sich die in ihnen enthaltenen Matrizen in eindeutig umkehrbarer Weise einander durch die reflexive, symmetrische und transitive Relation \({\mathfrak B}=-P'P^{-1}+P{\mathfrak U}P^{-1}\) zuordnen lassen; dabei bedeutet \(P\) eine feste Matrix von nicht verschwindender Determinante mit Koeffizienten aus \(\Sigma,P'\) die aus \(P\) dadurch hervorgehende Matrix, daß jedes Element von \(P\) durch seinen Differentialquotienten ersetzt wird, und schließlich ist \(P-1\) die zu \(P\) reziproke Matrix. Auf Grund der angegebenen Ähnlichkeitsrelation werden die Begriffe der Reduzibilität, Irreduzibilität, der vollständigen Reduzibilität und der Zerlegung in irreduzible sowie in aufeinanderfolgende größte vollständig reduzible Bestandteile, mit denen sich frühere Arbeiten des Verf. für Gruppen linearer homogener Substitutionen (American M. S. Trans. 4, 44 und 6, 504; F. d. M. 34, 169 (JFM 34.0169.*), 1903 und 36, 195, 1905) beschäftigt haben, auf die oben beschriebenen Matrizenkomplexe ausgedehnt. Die früheren Sätze beziehen sich bloß auf den Spezialfall, daß erstens die Matrizen nur konstante Koeffizienten haben, also der zugrundeliegende Rationalitätsbereich \(\Sigma\) keine Funktionen von \(x\) enthält, und daß zweitens die untersuchten Matrizenkomplexe in dem Sinne abgeschlossen sind, daß die Komposition irgend zweier Matrizen aus dem Komplex stets wieder eine dem Komplex angehörige Matrix ergibt. Für die allgemeinen Matrizenkomplexe werden vor allem folgende drei Eindeutigkeitssätze abgeleitet: Betrachtet man Matrizenkomplexe, die von derselben Art sind, als nicht verschieden, so sind für jeden Matrizenkomplex \(\alpha)\) seine irreduziblen Teilkomplexe bis auf; die Reihenfolge eindeutig bestimmt und sowohl \(\beta)\) seine aufeinanderfolgenden vorderen größten vollständig reduziblen Teilkomplexe als auch \(\gamma)\) seine aufeinanderfolgenden hinteren größten vollständig reduziblen Teilkomplexe sogar der Reihenfolge nach eindeutig geben. Die unter \(\gamma)\) genannte Zerlegung ist auch im Falle der Gruppen linearer homogener Substitutionen bisher noch nicht erwähnt worden. Zwischen den zwei Zerlegungen eines Matrizenkomplexes in aufeinanderfolgende vordere und hintere größte vollständig reduzible Teilkomplexe bestehen bemerkenswerte Beziehungen, von denen hier nur angegeben sei, daß die Anzahl der aufeinanderfolgenden vorderen größten vollständig reduziblen Teilkomplexe gleich ist derjenigen der hinteren.
Der Begriff derselben Art wird auch auf Matrizenkomplexe ungleichen Grades ausgedehnt. Der quadratische Matrizenkomplex \({\mathfrak B}\) \(m\)-ten Grades heißt in der durch den quadratischen Matrizenkomplex \({\mathfrak U}\) \(n\)-ten Grades \((m\leqq n)\) bestimmten Art vorn enthalten, wenn es eine Matrix \(P\) mit \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten vom Range \(m\) gibt, so daß die Gleichung zwischen quadratischen Matrizen \({\mathfrak B}_nP_n+P_n'=P_n\mathfrak U\) besteht. \(\mathfrak B\) heißt in \(\mathfrak U\) hinten enthalten, wenn es eine Matrix \(P\) mit \(n\) Zeilen und \(m\) Spalten vom Range \(m\) gibt, so daß die Gleichung \({\mathfrak U}P_n+P_n'=P_n{\mathfrak B}_n\) besteht. \(P_n\) und \({\mathfrak B}_n\) bedeuten dabei die zu quadratischen Matrizen \(n\)-ten Grades durch Nullen ergänzten Matrizen \(P\) und \(\mathfrak B\). Unter \(P_n'\) ist die durch Differentiation der Koeffizienten aus \(P_n\) abgeleitete Matrix zu verstehen. Ist \(m=n\), so ist jede der zwei angegebenen Matrizengleichungen eine Folge der anderen, und \(\mathfrak U\) und \(\mathfrak B\) sind gegenseitig von derselben Art. Für \(m<n\) ist \(\mathfrak U\) ein reduzibler Matrizenkomplex und ist mit einem Matrizenkomplex von derselben Art, der \(\mathfrak B\) im ersten Fall als vorderen, im zweiten Fall als hinteren Bestandteil besitzt. Ein in \(\mathfrak U\) vorn enthaltener Teilkomplex \({\mathfrak T}_i\) der bei seiner vorderen Zerlegung genau \(i\) aufeinanderfolgende vordere größte vollständig reduzible Teilkomplexe aufweist und dabei einen möglichst hohen Grad besitzt, heißt ein \(i\)-ter vorderer größter subordinierter Matrizenkomplex von \(\mathfrak U\). Durch \(\mathfrak U\) ist \({\mathfrak T}_i\) eindeutig bestimmt, wenn man Matrizenkomplexe derselben Art als nicht verschieden ansieht. Das entsprechende Resultat gilt auch für den ähnlich definierten \(i\)-ten hinteren größten subordinierten Matrizenkomplex von \(\mathfrak U\).
Aus \(\mathfrak U\) wird werter der zu \(\mathfrak U\) adjungierte Matrizenkomplex abgeleitet, indem man in jeder Matxix von \(\mathfrak U\) den Koeffizienten \(a_{ik}^{(t)}\) der \(i\)-ten Zeile und \(k\)-ten Spalte immer durch \(-a_{ki}^{(t)}\), den mit entgegengesetztem Vorzeichen genommenen Koeffizienten der \(k\)-ten Zeile und \(i\)-ten Spalte ersetzt. Sind zwei Matrizenkomplexe gleichen Grades von derselben Art, so sind es auch ihre adjungierten. Ein hinterer größter vollständig reduzibler Teilkomplex eines Matrizenkomplexes verwandelt sich beim Übergang zum adjungierten in einen vorderen und umgekehrt.
Führt man \(n\) unbestimmte Funktionen \(y_1,y_2,\dots,y_n\) ein, so tritt an die Stelle des Matrizenkomplexes \(\mathfrak U\) ein linearer homogener Differentialkomplex \(\left(\frac{dy}{dx}\right)+{\mathfrak U}(y)\), wie er sich in der Symbolik des Matrizenkalküls schreiben läßt; dabei sind unter \((y)\) und \(\left(\frac{dy}{dx}\right)\) zwei Matrizen \(n\)-ten Grades zu verstehen, die abgesehen von der ersten Spalte, in der \(y_1,y_2,\dots,y_n\) bzw. ihre Abgeleiteten stehen, nur Nullen enthalten. Der Begriff derselben Art bedeutet dann die Transformierbarkeit zweier linearer homogener Differentialkomplexe durch lineare homogene Substitutionen in einander. Enthält der Matrizenkomplex im besonderen nur eine einzige Matrix, so hat man ein lineares homogenes Differentialsystem und für dieses gültige Sätze; in diesem Falle lassen sich noch weitergehende Sätze als für Differentialkomplexe herleiten (vgl. das folgende Referat, sowie besonders die im nächsten Band der F. d. M. zu besprechende Arbeit des Verf. in Math. Zs. 7, 1920). (II 4.)

Citations:

JFM 34.0169.*
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References:

[1] Transactions of the American Math. Society 4, S. 44 (1903). · JFM 34.0042.12
[2] Transactions of the American Math. Society 6, S. 504 (1905). · JFM 36.0045.15
[3] Zur Theorie der vollständig reduziblen Gruppen, die zu einer Gruppe linearer homogener Substitutionen gehören, Transactions of the American Math. Society 7, S. 509 (1906). · JFM 37.0163.02
[4] Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften, physik.-math. Klasse, Jahrgang 1906, S. 216.
[5] Transactions of the American Math. Society 10, 159 (1909).
[6] Einführung in E. H. Moores General Analysis, Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung 23, S. 250 (1914).
[7] Über reduzible lineare homogene Differentialgleichungen, Math. Ann. 56 (1903). Über vollständig reduzible lineare homogene Differentialgleichungen, Math. Ann. 62 (1906). Über lineare homogene Differentialgleichungen derselben Art, Math. Ann. 70 (1911). Zur theorie der linearen homogenen Differentialausdrücke, Math. Ann. 72 (1912). Vgl. auch H. Blumberg, Über algebraische Eigenschaften von linearen homogenen Differentialausdrücken, Göttingen, Dissertation 1912.
[8] Vorlesungen über lineare Differentialgleichungen, Leipzig und Berlin 1908. Siebente Vorlesung, S. 104–121.
[9] Über lineare homogene Differentialsysteme und ihre Sequenten, Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Jahrgang 1913, Abhandlung 17. · JFM 44.0379.01
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