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Über die Differentiationsprozesse der Algebra. (German) JFM 46.1436.02
Es handelt sich um das Studium der allgemeinen “linearen Operationen”. in bezug auf eine gegebene lineare Schar von Polynomen \(n\) Variablen. Ich nenne von den zahlreichen Begriffsbildungen und Sätzen der Arbeit, die in Erweiterung einer früheren Arbeit des Verf. “Über algebraische Modulsysteme und lineare homogene partielle Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten” und im Hinblick auf die formalen Prinzipien gewisser klassischer Entwicklungen, der Clebsch-Gordanschen Reihenentwicklung u. a., gebildet worden sind, nur die folgenden:
1. Den Begriff des “ausgezeichneten Paares” von zwei linearen Operationen in bezug auf zwei Scharen. Er führt u. a. zu dem Satze: Für jede zu einem Modulsystem \((f_1, \dots, f_k)\) gehörende Funktion \(M\) gibt es Konstante \(a_1, \dots, a_r\), so daß vermöge des Operators: \[ R=f_1(x) \overline{f}_1 \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) + \cdots + f_k(x) \overline{f}_k \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) \] die Darstellung \(M=Rf(x)\) gilt, wobei \(F(x)=(a_1R^0+\cdots +a_rR^{r-1})M\) zu \((f_1, \dots, f_k)\) gehört. Dadurch sind die an sich vieldeutigen Polynome \(N_1, \dots, N_k\) in \(M=N_1f_1+\cdots +N_kf_k\) vermöge einer Zusatzforderung in spezieller Weise festgelegt.
2. “Polarenprozesse” sind die aus den Operatoren \(\frac{\partial F}{\partial x_i}\) und \(x_iF\) abgeleiteten Operatoren. Beispiele von “reziproken Paaren” linearer Operationen bilden dann die Paare \(A_i=\overline{f}_i \left( \frac{\partial}{\partial x} \right)\) und \(B_i=f_i(x)\). Die hier bewiesenen Sätze ergeben u. a. das Resultat, daß die oben speziell bestimmten Polynome \(N_1, \dots, N_k\) durch die angedeutete Zusatzforderung eindeutig festgelegt sind. Dieser Satz wird verschärft für den Fall, daß \(f_1, \dots, f_k\) isobare Funktionen sind. Ferner gilt für jedes Polynom \(F\) eine eindeutige Zerspaltung \(F=M+\varPhi\), wobei \(M\) zu \((f_1, \dots, f_k)\) gehört und \(\varPhi\) durch die Forderung \(0=\overline{f}_1 \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) \varPhi, \dots, 0=f_k \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) \varPhi\) eindeutig bestimmt ist, und zwar ergibt sich mit dem obigen Operator \(R\): \(M=(a_1R+\cdots +a_rR^r)F(x)\). Es ist also damit für die durch \(F\) und \((f_1, \dots, f_k)\) bestimmte Restklasse in eindeutiger Weise ein Repräsentant festgelegt.
3. “Kerne” \(A(\xi, x)\) sind Polynome von zwei Variablenreihen und gehen zu gewissen besonderen linearen Operationen, die denjenigen in der Theorie der linearen Integralgleichungen analog sind. Alle reziproken Paare von linearen Operationen in bezug auf zwei Scharen können durch sie erhalten werden. In den hierher gehörigen Entwicklungen sind u. a. die Clebsch-Gordansche Reihenentwicklung und ihre von Capelli, Mertens und Deruyts gegebenen Verallgemeinerungen enthalten.
Der letzte Abschnitt enthält unter Übertragung gewisser Prinzipien aus der Matrizentheorie die Theorie der “Eigenwerte” und “Eigenfunktionen” bis zur “kanonischen Orthogonalzerlegung der Bilinearformen”.

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Full Text: Crelle EuDML