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Introduction to mathematical philosophy. 1. Auflage 1919, 2. Auflage 1920. (English) JFM 47.0036.12

London: Allen and Unwin, New York: Macmillan, VIII u. 208 S. \(8^\circ\) (1919).
Russell versucht in diesem, ohne Verwendung von Begriffsschrift, ja ohne Verwendung irgendwelcher Formeln geschriebenen Buch einen kurzen, allgemeinverständlichen Einblick in das große Werk zu geben, das in seinen anderen, umfangreichen Bänden niedergelegt ist. Das Buch ist bei Gelegenheit einer Gefängnisstrafe geschrieben, die der Autor 1918 wegen antimilitaristischer Propaganda erhalten hatte. Bei der außerordentlichen Fülle und Konzentration des Stoffes vermag der Referent nur einen ganz ungenügenden und unanschaulichen Ausschnitt wiederzugeben. Aufgabe der mathematischen Philosophie ist es, die allgemeinsten Ideen und Prinzipien aufzufinden, die unserm heutigen Ausgangspunkt der Mathematik zugrunde liegen. Zunächst wird Peano’s Ableitung der natürlichen Zahlen aus drei Grundideen und fünf Grundsätzen dargestellt und gezeigt, warum sie, weil sie zuviel darstellt, unbefriedigend ist. Dann wird die Zahl mengentheoretisch mit Hilfe des Begriffes der Zuordnung (der dem Zählen vorausgeht) definiert und die Begriffe Ähnlichkeitbereich, Beziehung samt diversen Eigenschaften (Reflexivität, Symmetrie, Transitivität) und die Nachkommenschaft eingeführt. Dadurch kommt man zu der Definition: Die natürlichen Zahlen sind die Nachkommenschaft der Null hinsichtlich der Beziehung des unmittelbaren Vorangehens. Ganz eingehend wird natürlich der tief liegende Grundsatz der mathematischen Induktion behandelt und gezeigt, wie dieser Vorgang der Definition der ganzen Zahlen zugrunde liegt. Darüber hinaus wird eine Erweiterung dieses Begriffs, der Begriff der “Erblichkeit” eingeführt. Wesentlich ist, daß beide Schlußmethoden nur für endliche Zahlen gelten. Zu jeder Menge gehört immer eine Anzahl von Ordnungsmöglichkeiten. Doch liegt die Ordnung nicht in der Menge selbst, sondern in den Arten der Beziehungen der Elemente. Damit eine Beziehung eine Ordnung erzeuge, muß Asymetrie, Transitivität und Zusammenhang vorhanden sein. Dies führt zur Einführung der Begriffe der Aliorelativität, des Quadrats einer Beziehung, des Begriffs “zwischen”, der in der Geometrie eine große Rolle spielt, der Ein-Eindeutigkeit, der Ein- Mehrdeutigkeit und der Mehr-Eindeutigkeit. Alle mathematischen Funktionen entstehen aus ein-mehrdeutigen Beziehungen.
Eine große Rolle spielt die Ähnlichkeit von Reihen und Beziehungen. Sie führt auf den Begriff der “Beziehungszahl”. Dies ist ein der gewöhnlichen Ordinalzahl übergeordneter Begriff Für diese Reihenzahl gilt eine besondere Arithmetik, für welche das assoziative und eine Form des distributiven, nicht aber das kommutative Gesetz gilt.
Bei den rationalen, reellen und komplexen Zahlen legt der Autor großen Wert darauf, daß die Auffassung, wonach jede Erweiterung der Zahlbegriffe die früheren Zahlen als Spezialfälle enthalten müsse, irrig sei und die Aufstellung korrekter Definitionen in diesem Gebiet verzögert habe. Man müsse diese Zahlen vielmehr neu konstruieren und nicht etwa postulieren Der Unterschied ist nach ihm etwa der von ehrlicher Arbeit und Diebstahl. Entsprechend werden die Brüche als Beziehungen, die reellen Zahlen als Schnitte, die komplexen Zahlen als geordnete Paare von reellen Zahlen definiert.
Als unendliche Kardinalzahlen werden Zahlen definiert, die dem Induktionsgesetz nicht genügen. Doch ist nicht bewiesen, daß die zu ihnen gehörigen Mengen reflexiv sein müssen, also echte Teilmengen besitzen, die der Menge selbst äquivalent sind. Dann werden die Grundlagen der Mengentheorie, die Arithmetik der unendlichen Kardinal- und Ordinalzahlen dargestellt. Beim Grenzwert wird gezeigt, daß er kein quantitativer, sondern ein ordinaler Begriff ist. Zwischen dem Cantorschen und Dedekindschen Begriff der Stetigkeit ist zu unterscheiden. Dabei treten die Begriffe dicht, in sich dicht, abgeschlossen und perfekt auf. Der limes wird zuerst für Beziehungen, dann für Funktionen eingeführt. Im allgemeinen hat eine Funktion 4 Grenzwerte. Nur wenn alle 4 zusammenfallen, kann man von einem Grenzwert sprechen. Besonders wichtig in Anbetracht der heutigen Grundlagenkrise der Mathematik sind die Kapitel gegen Ende des Buches, welche das Auswahlprinzip, das multiplikative Axiom, das Unendlichkeitsaxiom und, wenn auch nur gelegentlich, die logischen Typen behandeln. Ohne das Unendlichkeitsaxiom kann man Addition, Multiplikation und Potenzieren von endlichen Zahlen und die Brüche auf stellen Sobald man jedoch alle induktiven Kardinalzahlen oder alle Brüche behandeln will, tritt die Notwendigkeit dieses Axioms auf. Eine Reihe von verunglückten Versuchen, dieses Axiom zu beweisen, wird gezeigt. Besonders anschaulich wird Dedekind’s Existenzbeweis für unendliche Mengen widerlegt.
Grundlegend für das ganze Buch ist die Art, wie Russell zeigt, daß Mathematik und Logik untrennbar verbunden sind, daß man nicht einmal sagen kann, wo die eine aufhört, die andere beginnt.