×

zbMATH — the first resource for mathematics

Module in nichtkommutativen Bereichen, insbesondere aus Differential- und Differenzenausdrücken. (German) JFM 47.0097.03
Die für lineare Differential- und Differenzenausdrücke eingeführte symbolische Produktbildung läßt sich auffassen als gewöhnliche Multiplikation im nichtkommutativen Polynombereich. Die Frage nach den Zerlegungssätzen geht so über in eine Frage der Idealtheorie in einem solchen Polynombereich, für den wie im kommutativen Fall der Satz von der Idealbasis gilt. Wie im kommutativen Fall (Schmeidler, Math. Zeitschr. 3; Ref. oben) entspricht auch hier der Darstellung des Ideals als kleinstes gemeinsames Vielfaches von teilerfremden Komponenten eine Darstellung der Restgruppe als direkte Summe. Aus der Existenz der Idealbasis folgt, daß sich jedes Ideal als kleinstes gemeinsames Vielfaches von endlich vielen solchen irreduzibeln Komponenten darstellen läßt. IÜer gilt aber nicht der Eindeutigkeitssatz wie im kommutativen Fall; das beruht wesentlich darauf, daß der Restgruppe nicht mehr Ideal-, sondern nur noch Moduleigenschaft zukommt. Ein Eindeutigkeitssatz Läßt sich aber erreichen, wenn das Ideal als “vollständig reduzibel” vorausgesetzt wird; d. h. wenn seine teilerfremd- irreduzibeln Komponenten keinen echten Teiler besitzen: Hier besteht bei zwei verschiedenen Zerlegungen Isomorphie, zwischen den entsprechenden Restgruppen, und es sind mindestens zwei Komponenten einer Zerlegung zueinander isomorph. – Die beiden hyperkomplexen Größen übliche lineare Basis zeigt sich beim Beweise als überfüssig; an ihre Stelle tritt ein Rechnen mit Einheiten, was einer Idealbasis der einzelnen Komponenten entspricht; daß auch das Benutzen dieser Basis entbehrlich ist, haben anschließende Arbeiten gezeigt. Der Begriff der Isomorphie von Restgruppen ist identisch mit dem Begriff der gleichen Art für die Ideale; speziell für Differential- und Differenzenausdrücke bedeutet gleiche Art : eine birationale Verwandtschaft zwischen den Integralen, und kommt so im Spezialfall einer Veränderlichen auf den ursprünglichen Poincaréschen Begriff zurück, womit der obige Zerlegungssatz die genaue Verallgemeinerung der für Differential- und Differenzenausdrücke einer Veränderlichen bekannten Resultate darstellt. (IV 9, 11.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML