Studien über die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion. (German) JFM 47.0289.03

Cramér, H.

Math. Zeitschr. 4, 104-130 (1919).

1. \(\varrho\) durchlaufe die Wurzeln von \(\zeta (s)\) in der oberen Halbebene. \(V(z)\) bezeichne die für \({\mathfrak F}(z) > 0\) reguläre Funktion \(\sum_\varrho e^{\varrho z}.\) Verf. beweist: \(V(z)\) ist in der von 0 bis \(- i \infty\) aufgeschlitzten Ebene regulär bis auf Pole erster Ordnung in \(z = \pm \log (p^m).\) Ferner ist, wenn \(0 < {\mathfrak F}\log z < \pi\) in der oberen Halbebene genommen wird, \[ 2\pi i V(x) - \frac{\log z}{1-e^{-z}} - \frac{C +\log 2\pi - \frac \pi{2} i}{z} \] in der ganzen Ebene eindeutig.
2. Anwendungen. Z. B. wird für \[ R(T) =N(T) - \frac {T}{2\pi} \left(\log \frac {T}{2\pi} -1 \right) \] (\(N(T)\) Wurzelzahl für \(0 < t \leqq T\)) bei jedem \(\varepsilon > 0\) bewiesen \[ \int_0^T R(v) dv =\frac 78T +O(T^\varepsilon). \]

Reviewer: Landau, Prof. (Göttingen)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente. Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.