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On the boundary values of an analytic function. (Über die Randwerte einer analytischen Funktion.) (German) JFM 47.0295.03
Quatrième congrès des math. scand. 1916, 27-44 (1916).
P. Fatou hat in seiner Thèse [Acta Math. 30, 335–400 (1906; JFM 37.0283.01)] bewiesen, daß bei einer im Einheitskreis regulären und beschränkten Funktion, die nicht identisch verschwindet, die bis auf eine Nullmenge existierenden Randwerte nicht auf einem ganzen Bogen, bzw. auf einem maßgleichen Teil eines solchen Bogens verschwinden können. Die Verf. zeigen zunächst durch eine einfache Überlegung, daß die Gesamtheit der Nullstellen dieser Randwerte höchstens eine Menge vom Maße 0 ausmachen kann. Ähnliches gilt für Funktionen, deren \(p\)-te Potenz \((p > 1)\) auf den konzentrischen Kreisen \(| z|= r < 1\) einen beschränkten Mittelwert hat. Viel tiefer liegt hingegen die weiter bewiesene Tatsache, daß diese Ergebnisse auch für \(p = 1\) in Gültigkeit bleiben. Sind nämlich die gelegentlich von Hardy betrachteten Mittelwerte \[ \int_{| z| =r} | f(z)| | dz| \] beschränkt für \(r < 1,\) so existiert \(\lim_{r =1} f(re^{i \theta })\) für fast alle \(\theta\) und stellt eine im Lebesgueschen Sinne integrable Funktion dar, die (außer bei \(f (z) \equiv 0)\) nur auf einer Nullmenge verschwinden kann. Die Verf. geben diesen Betrachtungen einen geometrischen Charakter, wodurch sich die Resultate als Aussagen über die durch solche Funktionen ermittelten Abbildungen formulieren lassen. Es sei noch der folgende Satz erwähnt: Ist \(f(z) =\sum_{n =0}^\infty a_n z^n\) von beschränktem “Hardyschen Mittelwerte”, so ist \(\lim_{n =\infty}a_n = 0.\)

MSC:
30Exx Miscellaneous topics of analysis in the complex plane