×

zbMATH — the first resource for mathematics

Additive und stetige Funktionaloperationen. (German) JFM 47.0384.01
Die Funktionaloperation \(F(X) =\int_a^b H(t)X(t) dt\) ist “additiv”, weil \(F(X + Y) = F(X) + F(Y),\) und sie ist “stetig”, weil unter Zugrundelegung des Entfernungsbegriffs \(\int_a^b [X(t) - Y(t)]^2dt\) die Eigenschaft \(\lim_{n=\infty} F(X) = F(X)\) gilt, falls \(X_n \to X.\) Fréchet hat gezeigt, daß diese Tatsache umkehrbar ist, d. h., daß jede additive, stetige Funktionaloperation in der obigen Integralgestalt geschrieben werden kann, wofern man alle Funktionen \(X\) zuläßt, die nebst ihrem Quadrat im Lebesgueschen Sinne integrabel sind. Verf. stellt diesem Resultat die folgenden an die Seite: Der Satz von Fréchet gilt auch dann, wenn man den Distanzbegriff im Sinne \(\int_a^b | X(t) - Y(t)| dt\) gebraucht und wenn man 1. die Funktionaloperation auf alle Funktionen anwendet, die nur selbst im Lebesgueschen Sinne integrabel sind (ohne daß es auch vom Quadrat vorausgesetzt wird); und zwar ist dann \(H(t)\) nicht nur im Lebesgueschen Sinne integrabel, sondern auch beschränkt, oder wenn man 2. die Funktionaloperation auf alle Funktionen anwendet, die selbst im Lebesgueschen Sinne integrabel und beschränkt sind; und zwar ist dann \(H(t)\) im Lebesgueschen Sinne integrabel. (IV 3 C.)

PDF BibTeX Cite
Full Text: DOI Link EuDML