×

Arithmetische Eigenschaften der unendlichen Reihe \(\sum \limits_{\nu =0}^{\infty}x^{\nu}a^{-\frac{\nu(\nu-1)}2}.\) II. (German) JFM 48.0196.02

In Verallgemeinerung eines früheren Resultates (F. d. M. 47, 167 (JFM 47.0167.*), 1919-20) bezüglich der Reihe \[ \varPhi(x,a)=\sum_{\nu=0}^{\infty}x^{\nu}a^{-\frac{\nu(\nu-1)}{2}}, \quad |a|>1, \] wird folgender Satz bewiesen: \(n\) sei eine positive ganze Zahl, und \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) seien rationale Zahlen mit der Eigenschaft, daß keiner der Quotienten \(\dfrac{\alpha_h}{\alpha_k}\) (\(h\neq k\)) eine ganze Potenz von \(a\) ist; es sei ferner \(\sigma_n=\dfrac12(2n+1+ \sqrt{1+4n^2})\), \(a =\frac sr\) sei eine rationale Zahl, \(r\neq 0\) und \(|s|>r^{\sigma_n}\).
Dann hat der Ausdruck \(\sum\limits_{\nu=1}^n A_{\nu}\varPhi(\alpha_{\nu}, a)\) einen irrationalen Wert, sobald die Koeffizienten \(A_{\nu}\) nicht sämtlich verschwinden.

Citations:

JFM 47.0167.*
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML Link

References:

[1] Mathematische Annalen80. S. 62-74.
[2] Comptes rendus des séances de l’Académie des Sciences de Paris77.
[3] Es wird ?>v vorausgesetzt.
[4] Dieses Produkt ist durch 1 zu ersetzen, fallsv=0 ist.
[5] Bekanntlich hat ? (x,a) unendlich viele Nullstellen, die durch die Formelx=?a k (k=0, {\(\pm\)}1, {\(\pm\)}2,...) gegeben sind.
[6] Ich schreibe kürzer ? (x) und ? (x) statt ? (x,a) und ? (x,a).
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.