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Relations between apolarity and the Pippian-Quippian syzygetic pencil. (English) JFM 48.0733.02
Cayley untersucht (1856) zwei wichtige Kontravarianten \(P\) und \(Q\) (“Pippian” and “Quippian”) der ebenen kubischen Kurve \(c_3 = U\) für deren kanonische Darstellung. Ein Jahr darauf geht er auch auf die geometrische Bedeutung der Kurven \(P, Q\) und ihrer linearen Schar \((P, Q)\) ein, ohne aber zu einfachen Ergebnissen zu gelangen.
Die Verf. ziehen hier mit Vorteil die Theorie der apolaren Dreiecke einer \(c_3\) heran. Ist ein Dreieck (\(LMN\)) einer \(c_3\) einbeschrieben, so gibt es ein und nur ein Inviduum \(c_3'\) des syzygetischen Büschels \((c3, H)\), das apolar ist zu (\(LMN\)) und daß zugleich, wenn \(L, M, N\) von irgend einem Punkte \(T\) der \(c_3\) in \(L', M', N'\) projiziert werden, das Dreieck (\(L'M'N'\)) ebenfalls zur \(c_3'\) apolar ist. Dies gilt im besondern auch dann, wenn die Punkte \(L, M, N\) inzident sind.
Dann ergibt sich: Bilden \(L, M, N\) eine inzidente, zur \(c_3' = \lambda c_3 + H = 0\) apolare Triade, so umhüllt die Gerade (\(LMN\)) das Inviduum \(36\lambda P + Q = 0\) der Schar \((P, Q)\). Ist daher die Triade (\(LMN\)) apolar zu \(c_3\) selbst, so umhüllt die Gerade (\(LMN\)) die Kurve \(P=0\) (“Cayleysche Kurve”), und ist (\(LMN\)) apolar zu \(H\), so umhüllt die Gerade die Kurve \(Q = a\).
Hieraus folgt weiter: Sind \(A, B, C\) drei Punkte auf \(c_3\), die von irgend einem Punkte der \(c_6\) in eine inzidente Triade projiziert werden, so ergeben sich im ganzen neun solcher Triaden, deren Gerade dasselbe Individuum der Schar \((P, Q)\) berühren. Alle neun Gerade schneiden nämlich die \(c_3\) in Triaden, die apolar sind zu demselben \(\lambda c_3 + H\), berühren also dieselbe \(36\lambda P + Q\). Man sieht, wie hier durchgehends der Begriff der Apolarität der beherrschende ist.

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