×

Über die konforme Abbildung \(n\)-dimensionaler Mannigfaltigkeiten mit quadratischer Maßbestimmung auf eine Mannigfaltigkeit mit euklidischer Maßbestimmung. (German) JFM 48.0857.02

Der Verfasser entwickelt zunächst in vereinfachter Weise seine direkte Analysis zur Theorie der Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sodann untersucht er eingehend die konformeuklidischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten, d. h. jene, die sich konform auf einen Euklidischen Raum von gleicher Dimensionenzahl abbilden lassen. Seine wichtigsten Ergebnisse sind folgende: Eine \(n\)-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit \(V_n\) ist für \(n>3\) dann und nur dann konformeuklidisch, wenn sich die Komponenten \(K_{rkih}\) ihres Krümmungstensors in die Gestalt
\[ K_{rkih}=\frac1{n-2}(g_{ri}l_{kh}+g_{kh}l_{ri}-g_{rh}l_{ki}-g_{ki}l_{rh}) \]
setzen lassen, wo die \(g_{ik}\) die Komponenten des metrischen Fundamentaltensors und die \(l_{ik}\) diejenigen eines zweiten symmetrischen Tensors sind. Für \(n>3\) ist eine konformeuklidische \(V_n\) auch durch jede der beiden folgenden Eigenschaften gekennzeichnet: 1. Sie enthält durch jeden ihrer Punkte \(n\)-fache Orthogonalsysteme in jeder Lage; 2. Sie enthält durch jeden ihrer Punkte senkrecht zu jeder Richtung eine Hyperfläche mit lauter Nabelpunkten. Schließlich wird noch eine Bedingung dafür aufgestellt, daß eine Hyperfläche in einem \(n\)-dimensionalen Euklidischen Raum konformeuklidisch ist.
Außer den angeführten Sätzen leitet der Verfasser jedesmal auch die – zum größten Teile schon bekannten – Sätze ab, die ihnen für \(n=3\) entsprechen, wobei er zahlreiche Literaturnachweise gibt. (VII.)

MSC:

53-XX Differential geometry
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML