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Über dyadische Brüche. (German) JFM 49.0132.01
Borel hat als erster bewiesen, daß in den dyadischen Entwicklungen fast aller Zahlen \(x\) (\(0<x<1\)) die Ziffern 0 und 1 asymptotisch gleich oft vorkommen. Unter den ersten n Ziffern der dyadischen Bruchentwicklung von \(x\) trete die Null \(\left(\dfrac n2+\mu_n(x)\right)\) mal auf. Nach Borel ist \(\mu_n(x)=o(n)\) für fast alle \(x\), nach Hardy und Littlewood (Acta Math. 37, 185, 1914) \(\mu_n(x)=0(\sqrt{n\log n})\). Der Verf. gelangt zu dem schärferen Ergebnis: Außer in einer Nullmenge ist \[ \limsup_{n\to\infty}\frac{|\mu_n(x)|}{\sqrt{n\log\log n}}\leqq 1. \] Es sei \(a_i(x)\) gleich \(-1\) oder \(+1\) je nachdem die \(i\)-te Ziffer der dyadischen Entwicklung von \(x\) gleich 0 oder 1 ist. Der Beweis beruht auf dem Hilfssatz: “Es seien \(\gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_n\) reelle Konstanten, die nicht gleichzeitig verschwinden. \(E(\delta)\) bedeute die Menge der zwischen 0 und 1 gelegenen Zahlen \(x\), für welche \[ |\gamma_1a_1(x)+\gamma_2a_2(x)+\cdots+\gamma_na_n(x)|>\delta>0 \] ist. Dann ist \[ mE(\delta)<Ce^{-\frac{\delta^2}{2\sum\gamma_i{}^2}}, \] wo \(C\) absolut konstant ist.” Der Beweis dieses Hilfssatzes fußt auf der Bemerkung, daß \[ \int_0^1\left[a_{i_1}(x)\right]^{\alpha_1}\left[a_{i_2}(x)\right]^{\alpha_2}\cdots \left[a_{i_m}(x)\right]^{\alpha_m}\,dx \] gleich 0 ist, wenn mindestens eine der ganzen nicht negativen Zahlen \(a\) ungerade ist, sonst aber stets 1 ist. Die weitere Durchführung des Beweises erinnert an die Methode, die Weyl, Hobson und Plancherel auf die Untersuchung von Reihen von Orthogonalfunktionen angewandt haben.

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