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Sur le théorème d’unicité des solutions des équations différentielles ordinaires. (French) JFM 49.0302.01

Beweis des Satzes: “Die Differentialgleichung \(y'=f(x,y)\) hat, wenn in der Umgebung eines Punktes \(x_0\), \(y_0\) \[ |f(x,y_1) - f(x,y_2)| \leq \varphi(|y_1 - y_2|) \] ist, wobei \[ \varphi(z) >0 \quad \text{für} \quad z>0,\quad \varphi(z) \quad \text{monoton}, \quad \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{\varepsilon}^a\frac {dz}{\varphi(z)}=\infty, \] nur ein Integral \(y\), das für \(x = x_0\) den Wert \(y_0\) annimmt. Wenn dagegen \[ |f(x,y_1) - f(x, y_2)|\geq \psi(|y_1-y_2|) \] ist, wobei \[ \psi(z) > 0\quad \text{für}\quad z > 0,\quad \psi(z)\quad \text{monoton},\quad \lim_{\varepsilon\to 0} \int_{\varepsilon}^a\frac{dz}{\psi(z)}\quad \text{endlich}, \] hat sie mehr als ein solches Integral.”
Der erste Teil des Satzes ist bereits von Osgood bewiesen, sogar ohne Voraussetzung der Monotonie (Monatsh. f. Math. l, 1898).

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References:

[1] Cette note est un extrait d’un travail plus étendu qui va bientôt paraître dans le Bulletin de l’Academie des Sciences de Russie.
[2] Voir G. Peano, Math. Ann.37 (1890), p. 482; G. Mie, Math. Ann.43 (1893), p. 533. · JFM 22.0302.01
[3] Nous dirons alors simplement que l’intégrale (3) estdivergente; dans le cas contraire, où la limite de l’intégrale (3) pouru=0 est finie, nous dirons qu’elle estconvergente.
[4] On a supposé icix?0. Les considérations analogues s’appliquent an cas, oùx est ?0.
[5] Nous devons ajouter que l’article de M. Painlevé dans ?Encyklopädie der Mathem. Wissenschaften?, II. A. 4a, pp. 197-198, contient une citation brève du théorème de M. Osgood concernant le même sujet que le notre théorème, démontré au commencement de la note. Mais la théorème de M. Osgood est beaucoup moins général, que le nôtre, dont il n’est qu’un cas particulier [pour ?(u)=ku|logu|,ku|logu|log|logu|,...] et la méthode même de M. Osgood nous est tout à fait inconnue, les bibliothèques de Pétrograd ne possédant pas les ?Monatshefte f. Math. u. Phys.?9 (1898) où le Mémoire de M. Osgood est inséré.
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