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Die natürliche Geometrie. (German) JFM 49.0391.02

Aus früheren Darstellungen des Verf. [F. d. M. 44, 553 (JFM 44.0553.*), 1913; 45, 722-723, 1915; 46, 821-822, 840, 1916] sind seine Ansichten und Überlegungen über die ”natürliche Geometrie” oder die ”Geometrie der Wirklichkeit” bereits im wesentlichen bekannt. In diesen 4 Hamburger Vorträgen wird des Verf. Einstellung in neuer Form eingehend, unter Herausarbeiten der prinzipiellen Punkte auseinander gesetzt und an Beispielen erläutert. Der idealisierten abstrakten Geometrie will der Verf. eine Geometrie der wirklichen Wahrnehmung gegenüberstellen, in welcher z. B. ein Kreis und seine Tangente, ebenso zwei sich schneidende Gerade nicht einen Punkt, sondern eine ganze Strecke gemeinsam haben, und in welcher die Länge einer Strecke keine eindeutig bestimmte Zahl ist. Die der Erfahrung entnommenen Grundtatsachen werden auch hier als Axiome formuliert, in Anlehnung an die Axiome der üblichen Geometrie (wobei aber hier der rechte Winkel eine zentrale Rolle spielt). Jedoch, es zeigen sich wesentliche Unterschiede: Überall ist die Forderung der Eindeutigkeit aufgehoben. Ferner bilden hier die Axiome kein vollständiges System, insofern als “wir außer den Axiomen, und Schlüssen auf Grund dieser, noch ein Material haben, dem gelegentlich auch eine Rolle zukommt, das nicht axiomatisierte Erfahrungsmaterial”. Wichtig ist außerdem, daß die Geometrie sich in einem beschränkten Bereich abspielt, und daß wegen der begrenzten Unterscheidungsfähigkeit nur endlich viele (wenn auch sehr zahlreiche) Punkte etc. in Betracht kommen (so daß z. B. Fragen nach der Existenz von Extremen hier überhaupt nicht auftreten). Ein sehr naheliegendes arithmetisches Beispiel gibt ein deutliches Bild von der “natürlichen Geometrie”. Den Schluß der Vorträge bilden einige interessante Bemerkungen über “glatte” Kurven und Flächen, die mit Hilfe von ”Stützkreisen” (bzw. “Stützkugeln”) definiert werden.

Citations:

JFM 44.0553.*
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References:

[1] Vgl. meine Arbeit: Die Geometrie der Wirklichkeit. Acta mathematica 40. S.38.
[2] Nach den hier dargelegten Prinzipien habe ich ein Elementarbuch herausgegeben (Elementær Geometri København 1916, zweite Aufl. 1921), das in mehreren Schulen in Dänemark eingeführt ist.
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