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Orthogonal systems of hypersurfaces in a general Riemann space. (English) JFM 49.0538.04

American M. S. Bull. 29, 212 (1923); American M. S. Trans. 25, 259-280 (1923).
In einem beliebigen Punkte einer \(n\)-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit (mit positiv-definiter Grundform \(ds^2= g_{ik}dx^idx^k\) kann man stets \(n\), nicht notwendig eindeutig bestimmte, gegenseitig senkrechte Richtungen angeben, nach denen irgendein gegebener, von der Richtung abhängiger Skalar der Gestalt \(\alpha_{ik}\dfrac{dx^i}{ds}\dfrac{dx^k}{ds}\) stationär ist. Diese \(n\) Richtungen bzw. \(n\) solche fest gewählte Richtungen heißen die Hauptrichtungen des symmetrischen kovarianten Tensors \((\alpha_{ik})\). Die \(n\) Hauptrichtungen setzen sich zu \(n\) Systemen von je \(\infty^{n-1}\) Kurven der Mannigfaltigkeit zusammen, den Hauptkongruenzen des Tensors \((\alpha_{ik})\). In der vorliegenden Arbeit werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angegeben, daß alle \(n\) Hauptkongruenzen Normalenkongruenzen sind, d. h. daß jede eine Schar von \(\infty^1\) sie orthogonal schneidenden Hyperflächen zuläßt.

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