×

Spazi normali a tre dimensioni con due curvature principali nulle. (Italian) JFM 49.0540.01

Einen dreidimensionalen Raum nennt man “normal”, falls sein Bogenelement in bezug auf seine Hauptkongruenz die folgende Form hat: \[ ds^2 = H_1^2\,dx_1^2 + H_2^2\,dx_2^2 + H_3^2\,dx_3^2. \] Die Aufgabe, welche der Verf. sich vorgelegt hat, lautet: “Die Normalräume zu bestimmen, für welche in jedem Punkt zwei Hauptkrümmungen gleich Null sind.” Durch Anwendung von bekannten Formeln wird die Frage auf die Integration der folgenden Gleichungen zurückgeführt: \[ \begin{aligned} &\frac{\partial\varphi_2}{\partial x_1}=\eta\varphi_1,\quad \frac{\partial\varphi_1}{\partial x_2}=\zeta\varphi_2, \tag{1}\\ &\frac{\partial\psi_2}{\partial x_1}=\eta\psi_1,\quad \frac{\partial\psi_1}{\partial x_2}=\zeta\psi_2, \tag{2} \end{aligned} \] wo \(\eta\), \(\zeta\), \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\psi_1\), \(\psi_2\) unbekannte Funktionen sind. Nimmt man \(\psi_1\) und \(\psi_2\) beliebig an und bestimmt man \(\eta\), \(\zeta\) mittels der Gleichungen (2), so erhält man zur Bestimmung von \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) eine Laplacesche partielle Differentialgleichung 2. Ordnung, auf deren Integration die vorgelegte Aufgabe zurückgeführt wird. Als besondere Fälle der erhaltenen Resultate findet man einige Sätze von Banal (vgl. F. d. M. 27, 538 (JFM 27.0538.*), 1896) und Bianchi (das. 46, 1050, 1916-18) wieder.

Citations:

JFM 27.0538.*
PDFBibTeX XMLCite