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Sur un théorème fondamental de M. H. Weyl. (French) JFM 49.0544.01

Es wird folgendes Theorem bewiesen:
Eine lineare inhaltstreue Gruppe \(G\) in \(n\) Variablen sei gegeben durch ihre \(r\) infinitesimalen Transformationen: \[ X_sf = \sum_{i,k} a_{iks} u_k\frac{\partial f}{\partial u_i}\,. \] Läßt man diese Gruppe wirken auf \(n\) Pfaffsche Formen \(\omega_1\), \(\ldots\), \(\omega_n\) und ist es stets möglich, \(r\) lineare Formen \(\tilde\omega_1\), \(\ldots\), \(\tilde\omega_r\) zu finden, so daß die \(n\) alternierenden Formen \[ \sum_{k,s}\left[a_{iks}\tilde\omega_s\omega_k\right] \] \(n\) beliebig vorgegebenen Formen gleich werden, so ist \(G\) entweder die allgemeine lineare Gruppe mit \(n^2 - 1\) Parametern oder die allgemeine lineare Gruppe mit \(n(n - 1)\) Parametern, die bei homogener Deutung der Variablen einen Punkt invariant läßt, oder (für \(n\) gerade) die allgemeinste Gruppe mit \(\dfrac{n(n + 1)}2\) Parametern, die einen nicht degenerierten linearen Komplex invariant läßt, oder die allgemeinste Gruppe mit \(\dfrac{n(n-1)}2\) Parametern, die eine invariante nicht degenerierte quadratische Hyperfläche invariant läßt.
Die Voraussetzungen dieses Theorems sind identisch mit dem ersten Axiom, das Weyl seinen Betrachtungen (Math. Zeitschr. 12, 114-146, 1922) über die Einzigartigkeit der Pythagoräischen Maßbestimmung zugrunde legt. Durch das zweite Weylsche Axiom werden die drei ersten Möglichkeiten ausgeschaltet, und und es ergibt sich das Weylsche Einzigartigkeitstheorem. (VII.)

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Full Text: EuDML