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Un théorème sur la transformation conforme dans la géométrie différentielle a \(n\) dimensions. (French) JFM 49.0548.04

Ist eine \(V_m\) in \(V_n\) eingebettet, so kann man in einem Punkte \(P\) der \(V_m\) sämtliche geodätische Linien in \(V_m\) betrachten. Die Endpunkte der Krümmungsvektoren dieser Kurven, als Kurven der \(V_n\) betrachtet, bilden das zu \(P\) gehörige Krümmungsgebilde der \(V_n\). Es wird folgender Satz bewiesen:
Bei einer konformen Transformation \(g_{\lambda\mu}' = \sigma g_{\lambda\mu}\) der \(V_n\) entsteht das neue Krümmungsgebilde, indem das Krümmungsgebilde um \(-\frac 12z^\nu\) verschoben wird und die Radienvektoren der so entstandenen Figur durch \(\sigma\) dividiert werden. Dabei ist \(z^\nu\) die Komponente des Gradientvektors von \(\log\sigma\) senkrecht zur \(V_m\).
Es ergeben sich noch einige anschließende Sätze, z. B.: Eine \(V_m\) läßt sich stets durch konforme Transformation der \(V_n\) in eine Minimal-\(V_m\) überführen, eine geodätische \(V_m\) ebenso in eine \(V_m\) mit lauter Nabelpunkten, eine beliebige Kongruenz der \(V_m\) ebenso in eine Kongruenz asymptotischer Kurven. (VII.)

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Full Text: Gallica