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Trajectory surfaces and a generalisation of the principal directions in any space. (English) JFM 49.0548.06

In der ersten Arbeit verallgemeinert Verf. die Severische natürliche Definition des Levi-Civitaschen Parallelismus in einem beliebigen Riemannschen Raume \(R_n\), indem er die dort zugrundegelegten geodätischen Linien durch die Linien einer Schar von Trajektorien eines holonomen Kraftfeldes mit gegebener Energiekonstante ersetzt oder, noch allgemeiner, durch eine Extremalenfamilie von \[ {\textstyle\int}e^\varphi\,ds = \text{Minimum}, \] wobei \(ds\) das Bogenelement in \(R_n\) und \(\varphi\) eine Funktion der Koordinaten ist. Der neue Typus von Parallelität heißt “konform”, da die zugrundegelegte Grundschar als konforme Darstellung der Geodätischen in einem Raume \(R_n'\) mit dem Linienelement \[ ds' = e^\varphi\,ds \] gedeutet werden kann.
Der konforme Parallelismus ist brauchbar bei der Untersuchung gewisser dynamischer Probleme; u. a. kann dabei eine Bahnlinie nun dadurch charakterisiert werden, daß die Richtung in jedem ihrer Punkte konform-parallel zur ursprünglichen bleibt. Flächentheoretisch ist von Interesse, daß der zweite Differentialparameter \(\varDelta_2\varphi\) in einem Punkte \(P\) gleich ist dem Quotienten aus dem Winkel zwischen den beiden Endrichtungen bei einer Bewegung um eine kleine geschlossene Bahn \(B\) durch \(P\), wenn diese Bewegung einmal mit echtem und dann mit konformem Parallelismus ausgeführt wird, und der von \(B\) eingeschlossenen Fläche.
In der zweiten Abhandlung wird die Ersetzung der geodätischen Linien durch Trajektorien zur Grundlage einer Verallgemeinerung der ganzen Riemannschen Theorie benutzt. U. a. wird die Riemannsche Krümmung dabei ersetzt durch die Gaußsche Krümmung einer durch den betrachteten Punkt gelegten Trajektorienfläche. Ebenso wird die Riccische Theorie der Hauptrichtungen und -krümmungen in ähnlicher Weise verallgemeinert. Die alten Definitionen entstehen überall dadurch, daß \(\varphi = \text{Const.}\) gesetzt wird. Die Beziehungen zwischen den Fundamentalgrößen in der klassischen und in der verallgemeinerten Theorie werden aufgestellt und erweisen sich dabei von einer bemerkenswerten Einfachheit.