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Lectures on Cauchy’s problem in linear partial differential equations. (English) JFM 49.0725.04
New Haven: Yale University Press; London: Humphrey Milford; Oxford: University Press. VIII u. 316 S. (1923).
Das Hauptziel des Buches ist, die bekannten wichtigen Untersuchungen des Verf. (vgl. z. B. Ann. de l’Éc. Norm. 1904, 1905, Acta Math. 1908; F. d. M. 35, 352; 36, 412; 39, 425) in möglichst allgemeinem Zusammenhang und mit manchen wesentlichen Ergänzungen darzustellen und zugänglicher zu machen. Es handelt sich bekanntlich um eine Verallgemeinerung der Untersuchungen von Riemann, Kirchhoff und Volterra, wobei große analytische Schwierigkeiten zu überwinden waren. Denn wird die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen nicht eingeschränkt und das Problem allgemein in Angriff genommen, so werden – um nur eine Hauptschwierigkeit zu erwähnen – die Elementarlösungen an der Berandung so stark unendlich, daß die Greenschen Formeln zum Aufbau der Theorie nicht herangezogen werden können, wenn die Integrationen im üblichen Sinne verstanden werden. Diese Schwierigkeit wurde bereits in der Acta-Arbeit durch die Einführung eines eigentümlichen Analogons des Cauchyschen Begriffes der Hauptwerte behoben: zu dem Integranden wird ein passend gewähltes Zusatzglied addiert, welches das nichtintegrierbare Unendlichwerden des ursprünglichen Integranden kompensiert. Hadamard bezeichnet darum das (noch einem Grenzübergang zu unterwerfende) Integral der Summe als den endlichen Teil des ursprünglichen Integrals. Dieser ist unabhängig von dem Zusatzgliede, welches nicht eindeutig bestimmt ist. Die Analogie mit der Liouville-Riemannschen Differentiation liegt auf der Hand. – Im Falle von \(2n+1\) unabhängigen Veränderlichen führt diese Begriffsbildung unmittelbar zum Ziele. Ist jedoch die Anzahl der unabhängigen Veränderlichen gerade, so stellen sich eigentümliche Schwierigkeiten ein, welche durch die Methode des Abstiegs (method of descent) umgangen werden. Die Grundidee dieses Verfahrens ist, den Fall von \(2n\) Veränderlichen grundsätzlich auf den Fall von \(2n+1\) Veränderlichen zurückzuführen; man nehme dazu an, daß im Falle \(2n+1\) die Randbedingungen (höchstens) \(2n\) Veränderliche enthalten. – Bis zur wirklichen Durchführung dieser Gedanken führt freilich noch ein langer Weg.
Es ist selbstverständlich, daß eine ausführliche Darstellung nicht mit diesen Gipfeln der Theorie beginnen kann. Hadamard geht vielmehr auf die allgemeinen, z. T. geometrischen, z. T. formal-analytischen Grundlagen der Theorie der partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ausführlich ein, ohne dabei besondere Vorkenntnisse vorauszusetzen. Auch wird das Problem in den ersten Abschnitten durch anregende Vergleiche mit den bei Differentialgleichungen vom elliptischen Typus herrschenden Verhältnissen dem Leser nähergebracht und an Hand des Huygenschen Prinzips erläutert. Mit Rücksicht auf diese besonders anziehend geschriebenen orientierenden Kapitel ist das grundlegende Werk zugleich zur Einführung in den ganzen Gedankenkreis geeignet. Aus dem nachstehenden Inhaltsübersicht kann nicht einmal der Umfang des tiefliegenden Stoffes hervorgehen.
Aus dem Inhalt. Erstes Buch. Allgemeine Eigenschaften des Cauchyschen Problems S. 3-46. I. Das Cauchysche Fundamentaltheorem. Charakteristiken. II. Diskussion des Cauchyschen Resultats. Zweites Buch. Die Fundamentalformel und die Elementarlösung S. 47-116. I. Klassische Fälle und Resultate. II. Die Fundamentalformel. III. Die Elementarlösung. 1. Allgemeine Bemerkungen. 2. Lösungen mit einer algebraischen Singularität. 3. Der Fall des charakteristischen Konoides. Zusats über die Gleichungen der geodätischen Linien. Drittes Buch. S. 117-214. Die Gleichungen mit einer ungeraden Anzahl von unabhängigen Veränderlichen. I. Einführung eines neuartigen uneigentlichen Integrals. Diskussion der vorigen Resultate. 2. Der endliche Teil eines unendlichen einfachen Integrals. 3. Der Fall vom mehrfachen Integrale. 4. Einige wichtige Beispiele. II. Die Integration für eine ungerade Anzahl von unabhängigen Veränderlichen. III. Synthesis der gewonnenen Lösung. IV. Anwendungen auf die üblichen Gleichungen. Viertes Buch. Die Gleichungen mit einer geraden Anzahl von unabhängigen Veränderlichen und die Methode des Abstiegs S. 215-312. I. Integration der Gleichung mit \(2m_1\) Veränderlichen. 1. Allgemeine Formeln. 2. Übliche Beispiele. 3. Anwendung zu einer Diskussion des Cauchyschen Problems. II. Andere Anwendungen des Abstiegprinzips. 1. Abstieg von einem geraden und einem ungeraden \(m\). 2. Eigenschaften der Koeffizienten in der Elementarlösung. 3. Behandlung von nichtanalytischen Gleichungen.