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Kennzeichnung des Körpers der reellen algebraischen Zahlen. (German) JFM 50.0104.01

Es sei \(\Omega\) der Körper aller algebraischen Zahlen, \(P\) der Körper aller reellen unter denselben; dann ist \(\Omega=P(i)\), \(i=\sqrt{-1}\), wobei statt \(i\) jede sonstige nichtreelle algebraische Zahl genommen werden kann.
Wird nun in \(\Omega\) irgendein Automorphismus \(\overline{\sigma}\) festgelegt, der \(P\) in einen Körper \(K\) überfährt, so hat \(\Omega\) natürlich auch inbezug auf \(K\) den Relativgrad 2, und es ist \(\Omega=K(i)\).
Bemerkenswerterweise gilt nun auch die präzise Umkehrung hiervon. “Ist \(\Omega\) endlich in bezug auf einen Unterkörper \(K\), so. hat \(\Omega\) in bezug auf \(K\) den Relativgrad 2, und es ist \(\Omega=K(i)\); ferner gibt es in \(\Omega\) einen Automorphismus \(\sigma\), der \(K\) in \(P\) überführt”. Damit ist der Typus von \(P\), bis auf die selbstverständlichen Isomorphismen, gekennzeichnet.
Im Laufe der Beweisführung, die sich wesentlich auf den Galoisschen Charakter des abgeschlossenen \(\Omega\) in bezug auf \(K\) stützt, wird \(\sigma\) explizit konstruiert. Es wird dabei über die Automorphismen \(\sigma\) in \(\Omega\) noch der folgende Satz gewonnen: Jede endliche Untergruppe der Gruppe \(\mathfrak C\) aller \(\sigma\) hat die Ordnung 2. Die Elemente der Ordnung 2 bilden in \(\mathfrak C\) eine Klasse konjugierter Elemente. Ein Element \(\tau\) dieser Klasse ist nur mit den Elementen 1 und \(\tau\) vertauschbar.

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References:

[1] Vgl. etwa E.Landau, Über die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate. Göttinger Nachrichten 1919 und C.Siegel, Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate, Mathematische Zeitschrift Bd. 11.
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