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Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. IV. (German) JFM 50.0115.01

(Vgl. JFM 43.0266.01; JFM 45.0312.01; JFM 46.0264.01.)
In den vorangegangenen Abhandlungen der gleichen Reihe hatte Verf. eine sehr allgemeine, gewissermaßen alle klassischen Unterfälle erfassende komplexe Methode entwickelt, nach der das Restglied der Koeffizientensumme von \(f(s)=\sum_{n=1}^\infty c_n l_n^{-s}\) im Falle der Existenz einer entsprechenden Funktionalgleichung (durch beliebig nahe Heranführung gewisser Integrale auf Vertikalgeraden an die Grenzlagen der letzteren) abgeschätzt werden konnte. In den Bezeichnungen jener Abhandlungen lautete die Abschätzung: \[ D(x)=O {\left( x^{\frac{\eta-\frac 12}{H}-\varepsilon} \right)}, \] mit beliebigem \(\varepsilon>0\). Hier werden nun die folgenden wichtigen Ergänzungen dieser Abschätzung vorgenommen: 1. Es ist \[ \begin{matrix} \mathfrak R D(x)&=\Omega_Rx^{\left( \frac{\eta-\frac 12}{H} \right)},\;&\text{d. h. nicht }\;<o \left( x^{\frac{\eta-\frac 12}{H}} \right); \\ \mathfrak R D(x)&=\Omega_Lx^{\left( \frac{\eta-\frac 12}{H} \right)},\;&\text{d. h. nicht }\;>o \left( x^{\frac{\eta-\frac 12}{H}} \right);\end{matrix} \] 2. Nicht nur gibt es (nach 1.) je eine Folge monoton ins Unendliche wachsender \(x_n\) mit \[ \pm \mathfrak R D(x)> px^{\frac{\eta-\frac 12}{H}},\;p=\text{konst}., \] sondern diese Folgen lassen sich sogar so wählen, daß \(x_{n+1}<x_n+px_n^{1-\frac 1H}\) ist.
1. war beim Teiler- und Kreisproblem 1915 durch Hardy, bei den Dedekindschen \(\zeta\)-Funktionen 1922 durch Walfisz festgestellt worden, während es hier sehr viel allgemeiner bewiesen wird; die Angabe von expliziten Erfüllungsgrenzen durch 2. war nur beim Kreisproblem, als besonders einfache und mit relativ elementaren Mitteln beweisbare Illustration des allgemeinen Satzes, vom Verf. selbst der jetzigen Abhandlung vorangeschickt worden (vgl. ob. Ref.).
Das Hauptmittel der Beweisführung ist eine detaillierte Abschätzung gewisser wichtiger Integrale im Komplexen; erwähnt sei insbesondere: \[ \int_1^\infty u^{-\frac 12} e^{-iu(\log u-1-\log y)} du=\sqrt{2\pi} e^{i \left( y-\frac \pi 4 \right)} +o(1). \] Auch für den allgemeinen Fall wird je eine, Satz 2. entsprechende Zahlenfolge \(x_n\) explizit gebildet. Bezüglich weiterer Einzelheiten muß auf die sehr konzentriert gefaßte Abhandlung selbst verwiesen werden.

MSC:

11P21 Lattice points in specified regions
11E25 Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
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