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Contribution à la théorie des ensembles homéomorphes. (French) JFM 50.0143.04
Fundam. Math. 6, 149-160 (1924).
Verf. beweist hier zunächst noch einmal den von ihm für lineare Mengen aufgestellten [C. R. 178, 187, 1924] und von Sierpiński [ibid., 545] für den \(R_n\) verallgemeinerten Satz: Wenn zwischen 2 gegebenen Mengen (eines \(R_n\)) eine umkehrbar eindeutige und beiderseits stetige Abbildung existiert, dann ist es möglich, diese Abbildung zu einer Abbildung zweier die geg. Mengen umfassenden Mengen \(G_\delta\) zu erweitern.
Diesen Satz verwendet dann Verf., 1. um zu zeigen: Aus einer Klasse \(\mathfrak K\) von topologisch-invarianten Mengen entstehen, wenn jeder Durchschnitt einer Menge aus \(\mathfrak K\) mit einem \(G_\delta\) wieder zu \(\mathfrak K\) gehört, durch abzählbare Summen- oder Durchschnittsbildung, sowie durch Differenzenbildung Immer wieder Klassen von topologisch-invarianten Mengen. Und daraus folgen dann in besonders einfacher und einheitlicher Weise ältere Resultate von Mazurkiewicz, Sierpiński, Alexandroff, nämlich die topologische Invarianz der Klassifikation der Borelschen Mengen, zugehöriger Differenzenbildungen und der Komplementärmengen der Mengen \((A)\).
2. Verf. löst mittels seines Satzes ein 1920 von Sierpiński gestelltes Problem, indem er beweist: Unter der Hypothese \(\mathfrak c=2^{\kappa_0}=\kappa_1\) existieren lineare, nicht-abzählbare Mengen, deren sämtliche lineare homöomorphe Mengen Nullmengen (im Lebesgueschen Sinn) sind. Es sind dies nämlich die von Lusin [C. R. 158, 1258, 1914; F. d. M. 45, 632 (JFM 45.0632.*)] auf Grund jener Hypothese angegebenen linearen Mengen von Mächtigkeit \(\mathfrak c\), mit denen jede lineare, perfekte, nirgends dichte Menge höchstens abzählbar viele Punkte gemeinsam hat. Die Mächtigkeit der Klasse dieser Mengen ist \(2^{\mathfrak c}\).
3. Verf. löst mittels seines Satzes ein 1923 von Urysohn gestelltes Problem. Urysohn bezeichnete eine (lineare) Menge \(E\) als “vollständig meßbar”, wenn jede zu \(E\) homöomorphe Menge (im Lebesgueschen Sinn) meßbar ist. Verf. beweist, daß die Komplementärmenge einer “vollständig meßbaren” Menge, sowie Summe und Durchschnitt von abzählbar vielen “vollst. meßb.” Mengen selbst “vollst. meßb.” sind. Und wegen 2. ist, unter der Hypothese \(frak c=\kappa_1\), die Mächtigkeit der “vollst. meßb.” Mengen \(2^{\mathfrak c}\).

MSC:
54-XX General topology
Full Text: EuDML