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Bestimmung aller geradlinigen rhombischen Netze. (German) JFM 50.0464.03

Münch. Ber. 1924, 181-193 (1924).
Voßzeigt in der ersten Arbeit zunächst, daßdie Forderung \(K\) (= Krümmungsmaß)=0 für den Koeffizienten \(C\) der Differentialform \[ ds^2=A^2du^2+2AC dudv \cos \omega+C^2 dv^2 \] eine Laplacesche Differentialgleichung ergibt, die außer \(\omega\) noch eine willkürliche Funktion enthält. Darauf baut sich die Untersuchung unter zwei Gesichtspunkten: einmal wird spezialisiert durch die Forderung, daßeine oder beide Invarianten Null sein sollen, und zweitens werden spezielle geometrische Bedingungen dem \((u, v)\)-Netz auferlegt. Beide Forderungen greifen mehrfach ineinander.
Aus der Fülle des Gebotenen sei besonders hervorgehoben: §5. Isogonale Netzkurven (\(\omega_\tau c\)), deren Bestimmung schon bei vereinfachenden Annahmen auf eine gewöhnliche Dg. erster Ordnung von höherem als Riccatischem Typus führt “und hierin mag man den Grund erblicken, weshalb so wenige von willkürlichen Funktionen abhängige isogonale Systeme geläufig sind”. §6. Rhombische Netze (\(A_\tau C\)) mit konstantem \(\omega\) (werden vollständig bestimmt). §8. Orthogonale Netzkurven für den Fall, daßdie Invariante \(I_1=0\) ist und einige Sonderfälle von \(I_2=0\). §9. Geradlinige rhombische Netzkurven (Aufstellung einer Funktionalgleichung, die nach Besprechung mit Perron bearbeitet wird und “Paare reeller Kurven” gibt, “deren Tangenten ein rhombisches System bilden”. Daßnur die Kegelschnitte – als Klassenkurven betrachtet, also einschließlich der Ausartung in zwei lineare Strahlenbüschel – in Betracht kommen, haben Volk und Perron gezeigt; vgl. die anschließenden Referate).
Im zweiten Teil werden für die rechtwinkligen Koordinaten \(x(u, v), y(u, v)\) beim in der Ebene ausgebreiteten Netz Laplacesche Gleichungen gewonnen “ohne den scheinbaren Umweg über \(A\) und \(C\)”. Für isogonale und speziell orthogonale Netze werden Teilergebnisse gewonnen und speziell die Gleichung \[ x_u p_v-kx_0p_u=0, \;p=y_u:x_u \] behandelt.
Volk bestimmt Isogonälnetze, u. a. solche, bei denen die eine Schar aus Kreisen mit konstantem Radius besteht, und stellt zum ersten Mal fest: “Die Kegelschnitte sind die einzigen Kurven, deren Tangenten ein rhombisches Netz bilden.” Es gelang ihm, überraschenderweise zu erkennen, “daßdie elliptischen Integrale nur in der Zwischenrechnung auftreten, während die \(\dots\) endgültigen Integrale trotz ihrer abschreckend komplizierten Form sich \(\dots\) elementar auswerten lassen” (Perron am Anfang seiner Arbeit).
Perron gelangt durch den einfacheren Ansatz \[ U_1(u)x+U_2(u)y=1, \;V_1(v)x+V_2(v)y=1 \] für die beiden Geradenscharen, die das rhombische Netz bilden sollen, zu einer Funktionalgleichung \[ U_2-V_2=(U_1-V_1)f(u+v), \] die unmittelbare Behandlung, freilich mit einer Reihe von Fallunterscheidungen zuläßt.
Die geradlinigen rhombischen Netze erhält man, wie Ref. inzwischen gezeigt hat, noch einfacher durch einen ganz anderen Ansatz, der alle Funktionalgleichungen vermeidet und direkt durch Integration auf \[ x:y:1=U(u, v):y(u, v):N(u, v) \] führt, wo \(X, Y, N\) bilineare Funktionen ihrer Argumente sind. Hierin sind alle Fälle (Kegelschnittangenten, Paare linearer Strahlenbüschel) eingeschlossen.
Die vielen Anregungen, die von der Voßschen Arbeit ausstrahlen, sind damit erst zum kleinsten Teil verwertet.