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Sur la structure mathématique du calcul tensoriel. (French) JFM 50.0494.02

Die bekannten Erweiterungen der allgemeinen Relativitätstheorie durch Weyl und Eddington sind gerade für den besonderen Zweck zurechtgelegt, die Vektoren bzw. Tensoren der Elektrizität und der Gravitation direkt in eine besondere Metrik des Raumzeitkontinuum einzufügen. Mathematisch ist es aber von Interesse, ganz allgemein nach den Möglichkeiten einer Erweiterung des absoluten Tensorkalküls von Ricci und Levi- Civita zu fragen, woraus auch jene nie nichtriemannschen Metriken sich als besondere Fälle ergeben müßten. Voranzustellen ist dabei eine sachgemäße Definition zumindest der infinitesimalen Verrückung, und Verf. leistet sogar mehr, indem er sein Schema der erweiterten Metrik durch eine Darstellung auch der endlichen Translation beliebiger Tensoren abschließt.
Der vorliegende erste Teil seiner Betrachtungen sieht zuerst von einer Metrik überhaupt ab und entwickelt einen verallgemeinerten reinen Tensorkalkül nach den Gesichtspunkten der Kommutativität wenigstens einiger der wichtigsten Grundoperationen.
Es werden zunächst zwei Elementartensoren eingeführt: \(e_1, \dots, e_n\) bzw. \(e^1, \dots, e^n\). Ein kovarianter Tensor ist gegeben durch die (summierte) Form \[ A_0+A_i e^i+A_{i_1i_2}e^{i_1}e^{i_2}+\cdots, \] worin die \(A_i, \dots\) Funktionen der Variablen \(x^1, \dots, x^n\) sind; entsprechend werden kontravariante und gemischte Tensoren \(A\) eingeführt; der Koeffizienten \(A_{i_1\cdots i_m}^{k_1 \cdots k_m}\) wird dabei durch \(A_{-i_\mu-}^{-k_\mu-}\) wiedergegeben. Die Addition und die (assoziative und distributive, i. a. aber nicht kommutative) Multiplikation werden in üblicher Weise rein formal definiert, ebenso die Verjüngung; die charakteristische Erweiterung setzt erst bei der Differentiationen ein. Für letztere werden zwei zunächst willkürliche Folgen von Hilfsfunktionen \(c_{ojm}^i(x^1, \dots, x^m), c_{kom}^{oj}(x^1, \dots, x^m)\) herangezogen und dann für einen Tensor \(A\) gesetzt: \[ (1) \quad \frac {DA}{Dx^r} = \frac{\partial A_{-i_\nu-} ^{-k_\nu-}}{\partial x^r}+A_{-i_\nu-[i_p=s]}^{-k_\nu-} c_{oi_p r} ^s+A_{-i_\nu-}^{-k_\nu-[k_p=s]}c_{sor}^{ok_p}, \] wobei die eckigen Klammern eine Ersetzung des entsprechenden Index aussprechen. Die übliche Produktregel der Differentiation wird so gerade noch bewahrt; damit aber Differentiation und Verjüngung in erwünschter Weise kommentativ ausfallen, mußdie Bedingung \(c_{ojm}^i+c_{ojm}^{oi}=0\) erfüllt sein. Nunmehr läßt sich die Transformation auf neue Veränderliche unschwer vornehmen, und sie erweist sich wieder mit der Addition, Multiplikation und Verjüngung als kommutativ; mit der Differentation hingegen ist sie es erst dann, wenn wieder gewisse explizit angegebene Bedingungen erfüllt sind, die das System der \(c\) in bestimmter Weise aus einem dann zwar willkürlichen analogen System \(\gamma\) entstehen lassen.
Wird nunmehr von einem Punkte \(P_0\) aus, für den die obigen Operationen erklärt worden sind, eine beliebige Linie \(C\) (mit stetiger Tangente) in den Raum gezogen, deren Punkte \(P\) einem Parameter \(t\) zugeordnet sind, so kann man einen Tensor \(D=A(t)\) mit gegebenen Anfangswerten für \(P_0\) dadurch definieren, daß \[ (2)\quad \frac{DA}{Dt}=\frac{DA}{Dx^r}\frac{dx^r}{dt}=0 \] gesetzt wird; die Erweiterung der Levi-Civitaschen Parallelübertragung ist damit geleistet, die hier erhaltene ist natürlich von \(C\) abhängig. Die Integration von (2) läßt sich aber nun explizit ausführen, was für die Tensoren erster Stufe vollständig durchgeführt, für die höheren Stufen genügend angedeutet wird. Die Voraussetzungen einer verallgemeinerten Metrik sind damit in dem oben erwähnten Sinne vollständig wiedergegeben.

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