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Spazi riemanniani luoghi di varietà totalmente geodetiche. (Italian) JFM 50.0498.02

Einen Riemannschen Raum \(V_m\), der einem \(V_n(n>m)\) angehört, nennt man (total-) geodätisch, wenn alle geodätischen Linien von \(V_m\) auch solche für \(V_n\) sind. Ein Raum \(V_n\) enthält im allgemeinen keine geodätische \(V_m(m>1)\). Man sucht die Raume \(V_n\) die \(\infty^{n-m}\) geodätische \(V_m\) enthalten. Wenn \(m=n-1\) ist, so ist die Richtung der orthogonalen Trajektorie der \(\infty^1 V_{n-1}\) in jedem Punkte eine Hauptrichtung (nach Ricci).
Wenn \(m< n-1\) ist und wenn die \(V_m\) keine isometrische Korrespondenz in sich selbst zulassen, so läßt sich das \(ds^2\) von \(V_n\), in folgender Form schreiben: \[ ds^2=\sum_1^m\;_{ik}a_{ik}(x_1, \dots, x_m)dx_i dx_k +\sum_{m+1}^n\;_{jl}a_{jl}(x_1, \dots, x_n)dx_j dx_l. \] Sie sagt aus, daßdie Lage \(S_{n-m}\) (d.h. \((n-m)\)-Vektor), die in einem Punkte \(P\) auf \(V_m\) senkrecht steht (Ort der von \(P\) ausgehenden und zu \(V_m\) orthogonalen Richtungen), invariant ist bei einer Parallelübertragung (nach Levi-Civita) längs eines geschlossenen Zyklus durch \(P\) in \(V_m\).
Es folgen weitere geometrische Eigenschaften dieser Räume und jener Räume, die sich dadurch auszeichnen, daßsie zwei sich in jedem Punkte senkrecht schneidende Systeme von geodätischen Mannigfaltigkeiten besitzen.

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References:

[1] J. Hadamard,Sur les éléments linéaires à plusieurs dimensions [Bulletin des Sciences Mathé-matiques, 2ème série, t. XXV, ière partie (1901), p. 37–40].
[2] G. Ricci-Curbastro,Formole fondamentali nella teoria generale delle varielà e della loro curvatura (Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, serie V degli Atti, vol. XI, isemestre 1902, PP. 355–362);Sulle superficie geodetiche in una varietà qualunque e in particolare nette varietà a tre dimensioni (Ibidem, vol. XII, isemestre 1903, pp. 409–420).
[3] G. Ricci-Curbastro,Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque [Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, t. LXIII, parte 2a (1904), pp. 1233–1239]. · JFM 35.0145.01
[4] E. Bompiani,a)Studi sugli spazf curvi: Del parallelismo in una varietà qualunque [Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti t. LXXX, parte 2a (1920-1921), p. 355–386 e 839–859];b) Studi sugli sfazi curvi: La seconda forma fondamentale di una V m in Vn [ibidem; t. LXXX, parte 2a (1920–1921), p. 1113–1145].
[5] Ho dato il risultato di questo § in una Nota Lincèa dallo stesso titolo della presente [Ren. diconti della R. Accademia dei Lincei, serie V degli Atta, vol. XXXII, 2semestre 1923, pp, 14–15].
[6] Vedasi per es.L. Bianchi,Lezioni di Geometria differenziale, 2a edizione, vol. I, (Pisa, Spoerri, 1902), p. 73.
[7] J. Pérès,Le parallelisme de M. Levi-Civitaet la courbure Riemannienne (Rendiconti délla R. Accademia dei Lincei, serie V degli Atti, vol. XXVIII, isemestre 1919, pp. 425–428).
[8] l. c. S) a), p. 839 e seg.
[9] l. c. 5)a), p. 842.
[10] l. c. 4), n1.
[11] A. Voss,Zur Theorie des Riemann’ schenKrümmungsmasses [Mathematische Annalen, Bd. XVI (1880), pp. 571–576]. · JFM 12.0570.01
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