Hölder, O. Das Volumen in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und seine Invarianteneigenschaft. (German) JFM 50.0499.03 Math. Zs. 20, 7-20 (1924). Der Verf. gibt zwei verschiedene Begründungen des Volumbegriffes in einer \(n\)-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit. Er geht zunächst von der Erklärung des Inhaltes eines unendlich kleinen rechtwinkligen Parallelepipedes durch das Kantenprodukt aus. Für irgend einen Teil der Mannigfaltigkeit kann dann das Volumen dadurch definiert werden, daßman diesen Teil in unendlich viele unendlich kleine Parallelepipede unterteilt und hierauf die Summe der unendlich vielen unendlich kleinen Kantenprodukte bildet; d. h. der als Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Kantenprodukten bezeichnete Grenzwert ist von der Art der benutzten Teilung unabhängig. Endlich wird auch noch die Möglichkeit einer Teilung in unendlich kleine rechtwinklige Parallelepipede nachgewiesen. Die zweite Begründung geht von der üblichen Erklärung des Volumens durch das Integral \(\iint \dots \int \sqrt{g} dx_1 dx_2 \dots dx_n\) aus und besteht in dem Beweise, daßdas so definierte Volumen für ein unendlich kleines rechtwinkliges Parallelepiped gleich dem Kantenprodukt wird, woraus sich alle weiteren Eigenschaften des Volumbegriffs folgern lassen. Zum Schlusse wird noch gezeigt (u. z. sogleich für die allgemeine Riemannsche Mannigfaltigkeit), daßdie verschiedenen Arten der Volumbestimmung, die von Lobatschefsky und anderen in der hyperbolischen Geometrie angewendet worden sind, sich dem gegebenen Volumbegriff unterordnen. Reviewer: Berwald, Prof. (Prag) Cited in 3 Documents JFM Section:Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen. PDFBibTeX XMLCite \textit{O. Hölder}, Math. Z. 20, 7--20 (1924; JFM 50.0499.03) Full Text: DOI EuDML