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Über das Piltzsche Teilerproblem in algebraischen Zahlkörpern. (German) JFM 51.0153.02

Für die Gitterpunktanzahl im Kreise gilt bekanntlich eine Identität, die jene in eine Reihe nach Besselschen Funktionen entwickelt. Solche Identitäten entwickelt Verf. hier sehr viel allgemeiner; bezeichnet nämlich \(\text{\textbf{Z}}(s)\) die \(m\)-te Potenz der Dedekindschen Zetafunktionen eines algebraischen Zahlkörpers \(k\)-ter Ordnung, \(H(x)\) die summatorische Funktion der Koeffizienten der Dirichletschen Reihe für \(\text{\textbf{Z}}(s)\) und \(R(x)\) das Residuum von \(\text{\textbf{Z}}(s)\dfrac {x^s}s\) in \(s = 1\), so wird \(H(x)- R(x)\) in eine Reihe nach einer passenden Verallgemeinerung der Besselschen Funktionen entwickelt. Diese ist für \(mk\leqq 2\) konvergent, gleichmäßig innerhalb jedes Konstanzintervalls von \(H(x)\): für \(mk \geqq 3\) summierbar \(\left(n,\dfrac{mk-3}{2}+\varepsilon\right)\), gleichmäßig innerhalb jedes Konstanzintervalls von \(H(x)\), aber für kein \(x\) ist sie \(\left(n, \dfrac{mk-3}2\right)\) summierbar. Die Arbeit führt des Verf. Dissertation (Göttingen) (1922; JFM 48.1177.01) weiter.

MSC:

11R47 Other analytic theory
11N37 Asymptotic results on arithmetic functions

Citations:

JFM 48.1177.01
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References:

[1] Über diesen Begriff vgl. den Anfang von § 5.
[2] ?Über die summatorischen Funktionen einiger Dirichletscher Reihen?, Inaugural-Dissertation [Göttingen (1922) bei W. Fr. Kaestner, 56 S.]. Die Kenntnis dieser Arbeit wird, da sie als Privatdruck erschein, im folgenden nicht vorausgesetzt. Zitiert alsDissertation.
[3] G. H. Hardy, ?On the expression of a number as the sum of two squares? [Quarterly Journal46 (1915), S. 263-283]. · JFM 45.1253.01
[4] Dieser Beweis wurde mir ? als Ersatz für meinen ursprünglichen, der mit linearen Differentialgleichungen operierte und ziemlich langwierig war ? i. J. 1921 von Prof. Landau mitgeteilt (vgl.Dissertation, S. 1 und S. 32).
[5] Die Stirlingsche Formel in dieser Tragweite wurde zuerst von Stieltjes begründet: ?Sur le développement de log ? (a)? [Journal de Mathématiques, Ser. 4,5 (1889), S. 425-444. Vgl. auch ?(Euvres complètes?2, Groningen 1918, S. 211-230]. Ein besonders eleganter Beweis findet sich bei Hj. Mellin: ?Eine Formel für den Logarithmus transzendenter Funktionen von endlichem Geschlecht? [Acta Math.25 (1902), S. 165-183], S. 165-171 (passim).
[6] In einer allgemeinen Formel von E. Landau enthalten: ?Zur analytischen Zahlentheorie der definiten quadratischen Formen (Über die Gitterpunkte in einem mehrdimensionalen Ellipsoid)? [Berliner Akademieberichte 1915, S. 458-476], S. 468-469.
[7] Vgl. E. Netto, ?Lehrbuch der Kombinatorik? [Leipzig und Berlin bei B. G. Teubner, 1901, 260 S.], S. 249, Formel (17).
[8] Vgl. für das folgende J. Horn, ?Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung? [Leipzig, Göschen, 1905, Sammlung Schubert Nr. L, 391 S.], S. 156-162.
[9] ?Ideale?, Satz 169, S. 84.
[10] ?Ideale?, Satz 165, S. 75.
[11] Diese ergibt sich z. B. durch eine geringfügige Modifikation des Beweises von Satz 158, S. 78-79 der ?Ideale?.
[12] Eine systematische Darstellung der Rieszschen Summabilitätstheorie und ihrer Anwendungen auf Dirichletsche Reihen geben G. H. Hardy und Marcel Riesz: ?The general theory of Dirichlets series? [Cambridge tracts in mathematics and mathematical physics, No. 18, Cambridge 1915, 78 S.; zitiert als Hardy-Riesz].
[13] Hardy-Riesz, S. 29, Theorem 16. Dort wird zwar Gleichmäßigkeit nicht aufgenommen, doch gilt der Beweis von Theorem 16, Lemma 5, Lemma 6 dann wörtlich.
[14] M. Riesz, ?Une méthode de sommation équivalente à la méthode des moyennes arithmétiques?, Comptes Rendus, 12. Juni 1911. Die Überlegungen bleiben auch für den nicht hervorgehobenen Fall der gleichmäßigen Summabilität bestehen.
[15] Vgl. E. Landau, ?Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie? [Berlin: Julius Springer 1916, 110 S.], S. 30-38. Die Überlegungen bleiben auch für den nicht hervorgehobenen Fall der gleichmäßigen Summabilität bestehen.
[16] Vgl. die Sätze A1 und C meiner Abhandlung ?Über Summabilitätssätze von Marcel Riesz? [Mathematische Annalen93 (1924), S. 130-148].
[17] G. H. Hardy, ?The second theorem of consistency for summable series? [Proceedings of the London Mathematical Society, Ser. 2,15, (1916), S. 72-88]. Die Überlegungen bleiben auch für den nicht hervorgehobenen Fall der gleichmäßigen Summabilität bestehen.
[18] Vgl. den Hilfssatz meiner in Fußnote 18) ?Über Summabilitätssätze von Marcel Riesz? [Mathematische Annalen93 (1924), S. 130-148]. genannten Abhandlung.
[19] E. Landau, ?Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen (Zweite Abhandlung)? [Göttinger Nachrichten 1915, S. 209-243]. · JFM 45.0312.02
[20] Vgl. die in der vorigen Fußnote genannte Abhandlung S. 225, Formel (47) (die gegenüber (9. 11) eine unwesentliche Verschiebung des Integrationsweges aufweist).
[21] E. Landau, ?Über mehrfache gliedweise Differentiation unendlicher Reihen? Archiv d. Math. u. Phys., Dritte Reihe,26 (1917), S. 69-70]. · JFM 46.0429.03
[22] E. Landau, ?Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen? [Göttinger Nachrichten 1912, S. 687-771], S. 717, Hilfssatz 12. · JFM 43.0266.01
[23] E. Landau, ?Abschätzungen von Charaktersummen, Einheiten und Klassenzahlen? [Göttinger Nachrichten 1918, S. 79-97, S. 89-90.
[24] In der entsprechenden Formel (3. 43),Dissertation S. 42, steht zweimal versehentlich x für 2x.
[25] , genannte Abhandlung, S. 277.
[26] Hardy-Riesz, S. 39, Theorem 23.
[27] Vgl. die Bemerkungen S. 177.
[28] Die AuswertungJ 0,1 (w)=J 1 (w) folgt sofort aus (1.5) und (2.3).
[29] Vgl. die Funktionalgleichung (4. 43), ferner H. Weber, ?Lehrbuch der Algebra?, III. Band [Braunschweig 1908], S. 345, Abt. 4, S. 407, Formel (8).
[30] G. Voronoï, ?Sur le développement, à l’aide des fonctions cylindriques, des sommes doubles ?f (pm 2+2qmn+rn 2), oùpm 2+2qmn+rn 2 est une forme positive à coefficients entiers? [Verhandlungen des dritten internationalen Mathematiker-Kongresses Heidelberg 1904, Leipzig, B. G. Teubner 1905, S. 241-245].
[31] E. Landau, ?Über die Gitterpunkte in einem Krcise. Dritte Mitteilung.? Göttinger Nachrichten 1920, S. 109-134. · JFM 47.0158.01
[32] G. H. Hardy und E. Landau, ?The Lattice Points of a Circle? Proceedings of the Royal Society. A105 (1924). S. 244-258]. · JFM 50.0114.01
[33] Dissertation, S. 36.
[34] Vgl. P. Schafheitlin, ?Die Theorie der Besselschen Funktionen? [Leipzig und Berlin, B. G. Teubner 1908, 129 S.], S. 105.
[35] S. 123, 4 (1a); S. 124, 13. (3), (4).
[36] Vgl. ?Ideale? S. 80, (131) und S. 82, (135).
[37] Vgl. Weber, l. c. ?Lehrbuch der Algebra? III. Band [Braunschweig 1908],
[38] Dissertation, Satz II, S. 34.
[39] G. Voronoï, ?Sur une fonction transcendante et ses applications à la sommation des quelques séries? [Annales de l’École Normale, Ser. 3,21 (1904), S. 207-267; 459-533]; S. 515, S. 513, S. 235, S. 236. · JFM 35.0220.01
[40] G. H. Hardy, ?On Dirichlet’s divisor problem? [Proceedings of the London Mathematical Society, Ser. 2,15 (1916), S. 1-25], S. 20, Formel (6.33), wo indes die unendliche Reihe mit einem Vorzeichenfehler wiedergegeben ist. · JFM 46.0260.01
[41] W. Rogosinski, ?Neue Anwendung der Pfeifferschen Methode bei Dirichlets Teilerproblem?, Inaug.-Dissert. [Göttingen (1922) bei W. Fr. Kaestner, 32 S.]. · JFM 48.0183.01
[42] H. Cramér, ?Über das Teilerproblem von Piltz?. [Arkiv för Matematik. Astronomi och Fysik,16 (1922), Nr. 21, 40 S.]
[43] Dissertation, Satz III, S. 50.
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