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Certain notions in potential theory. (English) JFM 51.0360.05
Journal of Math. Massachusetts 3, 24-51 (1924); (Nachtrag zu F. d. M. 50, 646.)
Verf. beweist zuerst einen Satz, durch den jeder beliebigen stetigen Funktion auf dem Rande einer beschränkten, zusammenhängenden, offenen Punktmenge im \(n\)-dimensionalen Räume (\(n\geqq 2\)) eindeutig eine harmonische Funktion auf dieser Menge zugeordnet wird, die mit der Lösung des Randwertproblems übereinstimmt, falls diese existiert, im allgemeinen aber nicht stetig in die Randwerte übergeht (Satz 1). Analog läßt sich eine verallgemeinerte Lösung des Randwertproblems für das Äußere einer beschränkten Punktmenge geben. Sind in letzterem Falle (und bei \(n \geqq 3\)) konstante Randwerte vorgeschrieben, und soll sich das gesuchte Potential im Unendlichen wie das einer punktförmigen Ladung verhalten, so wird man auf die Frage nach der Ladungsverteilung auf einem Kondensator geführt, als deren Lösung sich hier die Belegungsfunktion eines Stieltjesintegrals ergibt, das die Lösung der genannten Randwertaufgabe darstellt (für das ebene Problem, das eine gesonderte Behandlung erfährt, s. eine Berichtigung auf S. 141-143 der nachstehend besprochenen Arbeit) (Satz 2). Auf Grund dieses Satzes wird es möglich, die ”elektrostatische Kapazität” einer beliebigen beschränkten Punktmenge zu definieren. Mittels des Begriffs der Kapazität eines Randstückes in der Umgebung eines Randpunktes gelingt es dann, eine sehr allgemeine hinreichende Bedingung dafür aufzustellen, daß die Lösung des Randwertproblems im Sinne von Satz l sich stetig an den vorgegebenen Wert in jenem Randpunkt anschließt. Doch hält sie Verf. nicht für notwendig (Satz 3). Endlich zeigt er, daß jenes Verhalten nur vom Charakter eines beliebig kleinen umgebenden Randstückes abhängt (Satz 4).

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