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Concerning upper semi-continuous collections of continua. (English) JFM 51.0464.03
Ist \(N\) eine Punktmenge, \(p\) ein Punkt in einem metrischen Raum, so bezeichne \(l (p, N)\) die untere Grenze der Entfernungen des Punktes \(p\) von den Punkten von \(N\). Sind \(M\) und \(N\) zwei Mengen, so bedeutet \(l(M, N)\) die untere Grenze aller \(l (p, N)\) für \(p \subset M\), \(u(M, N)\) die obere Grenze der \(l(p, N)\) für \(p \subset M\). Dabei ist zu beachten, daß im allgemeinen \(u (M, N) \neq u (N, M)\) ist.
Verf. nennt nun eine Menge \(G\) von Kontinuen (wozu auch Punkte gerechnet werden) eine “upper semi-continuous collection”, wenn es zu jedem Element \(g\) von \(G\) und jeder positiven Zahl \(\varepsilon\) eine positive Zahl \(\delta\) gibt, so daß für jedes Element \(x\) von \(G\), für das \(l (x, g) < \delta\) ist, \(u (x, g) < \varepsilon\) wird.
Ein Element \(g\) von \(G\) heißt ein Häufungselement einer Teilmenge \(K\) von \(G\), wenn es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein von \(g\) verschiedenes Element \(k\) von \(K\) gibt, so daß \(u(k,g)< \varepsilon\) ist. Die Begriffe abgeschlossene Menge, Gebiet, Gebietsgrenze usw. sind auf Grund der Definition des Häufungselementes definiert.
Verf. untersucht im ersten Teil seiner Arbeit upper semi-continuous collections von paarweise fremden Kontinuen in der Ebene, die folgende Bedingungen erfüllen: Jeder Punkt der Ebene ist in genau einem Element der Menge \(G\) enthalten; jedes Kontinuum von \(G\) ist beschränkt; keine Kontinuum von \(G\) zerlegt die Ebene. Die Beziehung zwischen den Eigenschaften “Häufungspunkt”, “Gebiet”, “abgeschlossene Menge” in der Ebene im gewöhnlichen Sinn und in der Menge \(G\) werden untersucht. Es ergibt sich, daß die Elemente der Menge \(G\) den Axiomen der Topologie in der Ebene, die Verf. in einer früheren Arbeit [Proc. Natl. Acad. Sci. USA 2, 270–272 (1916) and Trans. Am. Math. Soc. 17, 131–164 (1916; JFM 46.0828.02)] aufgestellt hat, genügen.
Im zweiten Teil der Arbeit wird die Beziehung hergestellt zwischen der Deutung eines Kontinuums als Menge seiner Primteile (prime parts) (H. Hahn [Sitzungsber. Wien 130, 217–250 (1921; JFM 48.0654.01)]; R. L. Moore [Math. Z. 22, 307–315 (1925; JFM 51.0461.02)] und der Deutung als “upper semi-continuous collection” seiner Primteile.
Im dritten Teil werden die maximalen zusammenhängenden Teilmengen einer abgeschlossenen Menge \(M\) der Ebene und die nicht zu M gehörigen Punkte der Ebene als Elemente einer upper semi-continuous collection gedeutet.
Der vierte Teil enthält eine kurze Andeutung der Behandlung von upper semicontinuous collections in mehrdimensionalen Räumen.

MSC:
54F15 Continua and generalizations
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