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On the extremum of arclength of a space curve with fixed restrictions of curvature. (Über das Extremum der Bogenlänge einer Raumkurve bei vorgeschriebenen Einschränkungen ihrer Krümmung.) (German) JFM 51.0542.05
Es wird ein sehr durchsichtiger Beweis des folgenden Satzes gegeben, der eine Verallgemeinerung eines solchen von A. Schur [Math. Ann. 83, 143–148 (1921; JFM 48.0806.02)] darstellt: Ein ebener Kurvenbogen bilde mit seiner Sehne die Begrenzung eines konvexen Bereiches. Dann erfährt bei jeder nicht identischen Transformation des Bogens (in einen im allgemeinen räumlichen Bogen), die seine Länge erhält und die Krümmung nirgends vergrößert, die Sehne eine Verlängerung. Hieraus fließt nicht nur eine leichte Verallgemeinerung eines Satzes von E. A. Schwarz, den schon A. Schur auf den seinigen zurückgeführt hatte, sondern auch der andere Satz von Schwarz: Eine geschlossene Raumkurve mit höchstens einer Ecke und einer die Schranke 1: \(R\) nirgends überschreitenden Krümmung hat mindestens den Umfang \(2\pi R\). Dann werden noch zwei dem ersten Schwarzschen Satze verwandte Sätze bewiesen, in denen die durchschnittliche Krümmung bzw. die Gesamtkrümmung in gewisser Weise beschränkt sind. (IV 15.)

MSC:
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
49Q15 Geometric measure and integration theory, integral and normal currents in optimization
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